高三理科数学018.doc

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期数 0509 SXG3 018
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇十二 导数的概念

【教材阅读提示】
1．通过实际材料了解导数概念的背景；
2．理解导数是函数平均变化率的极限；
3．理解导数的几何意义：函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率，其切线方程为.

【基础知识精讲】
一、知识结构

二、重要内容提示
1．切线的斜率：一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.　当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.　此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.
2．瞬时速度：一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.　如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.
3．函数y=f(x)在点处的导数
设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
4．函数在开区间内的导数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即
＝＝

5．导数的几何意义
函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率，其切线方程为.
6．求函数y=f(x)在点处导数的基本方法
（1）导数定义法. 利用导数概念求函数y=f(x)在点处的导数分三步进行：
求函数的增量；
求平均变化率（即增量比）=；
取极限，确定导数.
（2）导函数的函数值法. 利用导函数的函数值求函数y=f(x)在点处的导数分两步进行：
求函数f(x)在开区间(a,b)内的导函数；
将代入导函数得到函数值，即为函数y=f(x)在点处的导数.
7．理解“函数在一点处的导数”与“导函数”的区别与联系
（1）函数在一点处的导数是一个常数，不是变量；
（2）函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的. 函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，是指对于区间(a,b)内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数. 根据函数的定义，在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数.
（3）函数y=f(x)在点处的导数就是导函数在点x=处的函数值，即=.
8．可导与连续的关系
若函数f(x)在点处可导，则f(x)在点处连续，但是，若函数f(x)在点处连续，则f(x)在点处不一定可导. 例如，y=|sinx|在点x=0处连续，但是在x=0处不可导.
【典型例题解析】
例1．已知曲线上一点，求：
（1） 点P处的切线的斜率；（2）点P处的切线方程
解：（1）
∴
∴点P处的切线的斜率等于４．
（２）在点Ｐ处的切线方程是，即
例2 （1）如果某物体的运动方程是，则其在t=1.2秒时的瞬时速度是（ ）
A．4 B．－4 C．4.8 D．0.8
解：，
则，
∴应选D.
（2）若质点作直线运动，位移公式是，计算从t=2到之间的平均速度，并计算，的平均速度，再计算在t=2时的瞬时速度.
解：
∴质点从t=2到之间的平均速度为 .
当t=1时，
当t=0.1时，
当t=0.01时，
质点在t=2的瞬时速度
例3 设函数f(x)在x=2处可导，且，则=______.
分析：所给问题为函数在两个动点处值之差与自变量相应变化值的比的极限，它不是导数定义的标准形式. 要利用将问题解决，需与f(2)建立联系.
解：根据已知条件和导数的定义可得
.
当时，有；
当时，有，
∴

∴应填写答案为1.
（2）函数在x=1处的导数是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
解：

∴应选D.

【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．设在点处可导是在（内可导的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．下面说法正确的是（ ）
A．若不存在，则曲线y=f(x)在点处就没有切线
B．若曲线y=f(x)在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线y=f(x)在点处的切线斜率不存在
D．若曲线y=f(x)在点处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
3．若函数的图象上的一点(1,2)及邻近一点，则等于（ ）
A．2 B．2x
C．2+ D．
4．函数y=f(x)在x=处的导数的几何意义是（ ）
A．在点处的斜率
B．在点处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．点与点(0,0)连线的斜率
D．曲线y=f(x)在点处切线的斜率
二、填空题
5．在点x=3处的导数是_______.
6．若，则=_______.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．设函数y=f(x)，当自变量x由改变到+时，函数的改变量为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数的图象上一点(1,1)及邻近一点S，则等于（ ）
A．4 B．4x
C．4+2 D．
3．已知在处可导，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．曲线在点A（2，10）处的切线的斜率k为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
5．曲线在点(2,1)处的切线方程是_______.
6．函数的导数=________.
三、解答题
7．已知曲线上一点M(1,3)，求:
（1）点M处切线的斜率；
（2）点M处切线的方程.
参考答案
同步落实[※级]
一、选择题
1．B 2．C 3．C 4．D
二、填空题
5．9 6．－1

同步检测[※※级]
一、选择题
1．D 2．C 3．D 4 D
二、填空题
5．x+2y－4=0 6．
三、解答题
7．解：（1）
所以，所以点M处切线的斜率等于－2.
（2）在点M处的切线方程是y－3=－2(x－1)，即2x+y－5=0.