第六讲牛顿第二定律应用.doc

第三章 运动和力

一、牛顿第二定律应用

[例题1]如图3-13甲所示，一条轻弹簧和一根细线共同拉一个质量为m的小球，平衡时细线是水平的，弹簧与竖直方向的夹角为α.
(1)若突然剪断细线，则在刚剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为 ，方向与竖直方向的夹角等于 ；(2)若上述弹簧换成钢丝，则在刚剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为 ，方向与竖直方向的夹角等于 .
α

O

A

B

甲

T1

F1

mg

α

mg

α

F2

y

α

O

x

丙

乙

图3-13

[析与解]此题描述小球有两上状态：①剪断细线前的平衡状态；②剪断细线后的加速状态，对两状态分别进行分析。
(1)剪断细线前，小球受重力mg、弹簧的弹力F1和细线的拉力T1三个力作用而处于平衡状态（如图乙），即mg与F1的合力是水平方向向右的（与绳拉力反向）。大小是T1=mgtgα；刚剪断细线的瞬间，弹簧的形变因小球静止的惯性而不能马上改变，故F1仍保持原数值，因mg与F1皆未变化，所以小球此时的加速度大小为a1=T1/m=tgα，方向水平向右，即与竖直方向的夹角等于90°。
(2)若把弹簧换成钢丝，则在刚剪断细线的瞬间，钢丝的弹力已很快发生变化（钢丝形变量极小，一般可认为不伸长，这与弹簧不同），因此，重力mg与钢丝弹力F2的合力就肯定不是水平向右了，这时的合力方向怎样确定呢？
应作这样的思考：细线剪断后小球作圆周运动，此刻可视为圆周运动的开始，线速度为零，小球此时的受力如图丙所示，沿向心方向和切线方向建立直解坐标系，在向心方向小球的加速度可由圆周运动的知识求得：ay=v2/R=0(∵此刻v=0)，在切线方向小球的加速度可由牛顿第二定律注得：mgsinα=max，ax=gsinα
故引时小球的加速度大小为gsinα，方向与竖直方向的夹角等于90°-α。
[注意]一般产生弹力的物体可分为两类：一类是两端连有物体的弹簧（或橡皮绳等），它的形变因两端物体的惯笥而需时较长，在很短的时间内形变量可认为是不变的；另一类是钢丝（或细线等），属于刚体，它的形变过程需时极短，在极短的时间内弹力能发生很大的变化。所以遇到研究弹力变化的问题，先要研究对象等效成弹簧或刚体模型，然后再进行分析计算。
P

Q

图3-14

[思考1]如图3-14所示，质量分别为m1、m2的物体P、Q，分别固定在质量不计的弹簧两端，将其竖直放在一块水平板上并处于静止状态。如突然把水平板撤去，则在刚撤离瞬间，P、Q的加速度分别为多少？
[提示]本题解题的关键是：两端固结物体的弹簧发生形变需要时间。就是说，当板刚撤去瞬间，弹簧尚未来得及改变形态，故P物体受力情况与撤板前一样，即F弹=m1g，且ap=0，而Q物体受到板的支持力消失，故F弹+m2g=m2aQ，得。因为aQ>aP，所以撤板瞬间，P、Q有远离趋势，即弹簧有伸长趋势。
在本题的解题过程中，要充分应用牛顿第二定律的瞬时性原则。这个原则在物体所受外力发生变化时特别重要，应高度注意。
[例题2]如图3-15甲所示，电动机带动绷紧着的传送带，始终保持以v=10m/s的速度逆时针运行，传送带与水平面间的夹角为37°，现把一个质量为m=0.5kg的工件轻轻放在皮带的上端A，经一段时间t后，工件被传送到皮带的底端B。已知AB长为L=16m，工件与皮带之间的动摩迭因数为μ=0.5。求时间t是多少？(g取10m/s2)
15

3

-

图

[解与析]对工件进行受力分析：重力mg、支持力N、滑动摩擦力f(由于工件相对于传送带向上运动，所以f方向沿带向下，如图乙)，由牛顿第二定律可知加速度a1方向沿带向下，故工件先作初速度为零的均加速直线运动；
当速度增大到v=10m/s后，工件后受滑动摩擦力f的方向发生了变化(由于工件相对于传送带向下运动，所以f方向沿带向上，如图丙)，但由于μ<37°，根据牛顿第二定律可知其加速度a2方向仍沿带向下，故工件接着作初速度为v=10m/s的匀加速直线运动，直到底端B。
对第一过程 ：由牛顿第二定律有mgsin37°+μmgcos37°=ma1

速度增大到v=10m/s时，所经历的时间为，位移为S1=。
对第二过程：由牛顿第二定律有mgsin37°-μmgcos37°=ma2

到底端B时，位移为S2=L-S1=11(m)，设所经历的时间为t2，则

即t22+10t2-11=0，解出t2=1(s)，不合理的已舍去。
综上，工件由A运动到B的时间为t=t1+t2=1+1=2(s)
通过此题的解析，应注意滑动摩擦力的方向并不总是阻碍物体的运动，而是阻碍物体间的相对运动，它可能是阻力，也可能是动力。审题时可由题给的μ和θ条件作出当μ≥tgθ时，物体在加速至与传送带速度相同后，将与传送带相对静止一起匀速运动；当μ<tgθ时，物体获得与传送带相同的速度后仍将继续加速的定性分析，这样便于列方程求解。
Q

图3-16

[思考2]如图3-16所示，一固定的斜面长5m，高3m斜面上物体A的质量为m=5Kg，物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.3，物体在水平推力F=100N的推动下，由静止开始从斜面的底端沿斜面上移2m时撤去F，问从撤去开始计时，经过多少时间物体返回斜面的底端？
[提示]由于物体在运动过程中受力情况多少变化，应分三阶段研究。
第一阶段：物体在推力F作用下沿斜面上升S1=2m，设加速度为a1、末速度为V1，则可根据牛顿第二定律和运动学规律列出方程式求出a1、V1。
第二阶段：撤去F，因物体有V1，物体将继续上升，但加速度改为沿斜面向下，记作为a2，物体继续上滑s2，末速度为零，历时t2。由牛顿第二定律和运动学规律列方程求出s2=0.952m、t2=0.476s。
第三阶段：由题意μ<tgθ，即mgsinθ≥μmgcosθ，所以物体不可能停在斜面上，物体开始下滑，加速度为a3，方向沿斜面向下，位移为s1+s2历时t3，再根据牛顿第二定律和运动学规律列方程求出t3=1.28s。
综上所述可得物体经(t2+t3)=1.76(s)返回斜面底端的结论。
图3-17

[例题3]一质量为M=10Kg的木楔，ABC静止在粗糙水平地面上，动摩擦因数为μ=0.02，在木楔的倾角为30°的斜面上，有一质量为m=1.0Kg的的块由静止开始沿斜面下滑，如图3-17所示。当滑行路程S=1.4m时，其速度V=1.4m/s，在这过程中，木楔没有动，求地面对木楔摩擦力的大小和方向。(重力加速度g=10m/s2)
[解析]由运动学V2=V02+2as公式求得物块沿斜面向下滑的加速度a=V2/2s=1.42/2×1.4=0.7(m/s2)，所以可断定物块受到摩擦力作用。
用“隔离体”法分别对物块和木楔进行受力分析，如图3-17所示，其中物块受三个力作用，根据牛顿第二定律可知沿
斜面方向有：mgsinθ-f1=ma，
f1=mgsinθ-ma ①
垂直斜面方向有：mgcosθ-N1=0
N1=mgcosθ ②
木楔受五个力作用。（设地面对木楔的摩擦力f2方向由C指向B）在水平方向据牛顿第二定律有，f2+f1Cosθ-N1Sinθ=0 ③
将①②以及a值代入③得
f2=mgCosθ-Sinθ-(mgSinθ-ma)Cosθ
=maCosθ=1×0.7×0.866=0.61(N)
f2为正值，此力方向与所设方向相同，即由C指向B。
其实可以这样解析，由题意可知物块沿斜面加速下滑，则物体所受合外力(mg、f1、N1的合力)必在沿斜面方向。合外力的水平分力使物块产生水平向左的加速度ax，即Fx=max，如图3-18所示，故物块对木楔总的反作用力的水平分力必定水平向右，使木楔有右滑趋势，因此地面对木楔水平向左的静摩擦力大小为：f2=Fx=max=maCosθ代入数值，可得出与上同样的结论。
[思考3]质量为m=5Kg的物体，置于一粗糙斜面上，如图3-19所示。用一平行于斜面的大小为40N的力F拉物体。使物体沿斜面M向上匀加速度运动，a=2m/s2，求地面对斜面的摩擦力。(g=10m/s2)
[提示]把m、M分别隔离进行受力分析，对m如图3-20所示有
F-f1-mgSin30°=ma
N=mgCos30°=0
求出f1、N1的大小。
对M如图示，有f=f1′Cos30°+N1′Sin30°
求出f=26(N)的结论。
在运用牛顿第二定律和运动学公式分析处理某些问题的适用条件是物体在大小和方向不变的合外力作用下的运动；基本思路是对研究对象进行受力分析，运用牛顿第二定律和运动学公式，通过加速度相互沟通；基本类型是已知力求运动，由牛顿第二定律求出a，再利用运动学公式求解运动、已知运动求力，由运动学公式求出a，再利用牛顿第二定律求力。不管哪类在运用牛顿定律解题过程中往往容易犯的错误可归纳为：①不注意矢量的方向；②答题时只写所求量的大小，忘了回答方向；③不注意F、m、a三个物理量的瞬时性，同一性，我们在今后解题过程中尤其要加以注意的一点。

【素质训练】
1、如图3-21所示，质量均为m的A、B两小球用一段轻弹簧连接，另用一细绳将A球悬挂起来，两球处于静止状态，现将细线突然剪断，则在剪断细绳的瞬间A、B球的加速度各多少？方向怎样？若用细绳取代弹簧，结果又如何？
A

B

图3-21

N

M

图3-22

A

B

图3-23

1

2

2、如图3-22所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆上，小球处于静止状态。设拔出销钉M瞬间，小球加速度的大小为12m/s2。若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间，小球的加速度可能是（取g=10m/s2）
A、22m/s2，竖直向上 B、22m/s2，竖直向下
C、2m/s2，竖直向上 D、2m/s2，竖直向下
3、如图3-23所示，三个相同的小球A、B、C彼此用轻弹簧1和2连接，球A上端用轻细线系住挂起来，求：(1)线被剪断的瞬间，各球的加速度？(2)若线不剪断，而在B球的下端点把弹簧2剪断，则在剪断的瞬间，各球的加速度又如何？

4、如图3-24所示，吊篮P悬挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳烧断的瞬间，吊篮P和物休Q的加速度大小是（ ）
A、ap=aQ=g B、ap=2g, aQ=g C、ap=g, aQ=2g D、ap=2g, aQ=0
P

Q

图3-24

A

B

图3-25

5、如图3-25所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，它们的质量之比是1:2:3，设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，A和B的加速度分别是aA= , aB= .
6、质量为M的木块位于粗糙的水平桌面上，若用大小为F的水平恒力拉木块，其加速度为a，当拉力方向不变，大小变为2F时，木块的加速度为a′，则（ ）
A、a′=a B、a′<2a C、a′>2a D、a′=2a
7、如图3-26所示，底板光滑的小车上用两个量程均为20N、完全相同的弹簧秤甲和乙系住一个质量为1kg的物块。在水平地面上，当小车作匀速直线运动时，两弹秤的示数均为10N。当小车作匀加速直线运动时，弹簧秤甲的示数变为8N，这时小车运动的加速度大小是（ ）
A、2m/s2 B、4m/s2 C、6m/s2 D、8m/s2
图3-26

C

A

B

图3-27

8、一轻弹簧上端固定，下端挂一重物，平衡时，弹簧早长了4cm；再将重物向下拉1cm，然后放下，则在刚释放在瞬间重物的加速度是(g取10m/s2)( )
A、2.5m/s2 B、7.5m/s2 C、10m/s2 D、12.5m/s2
9、质量为M的木块位于粗糙的水平桌面上，若用大小为F的水平恒力拉木块，其加速度大小为a，当拉力方向不变，大小变为2F时，木块的加速度大小为a′，则( )
A、a′=a B、a′<2a C、a′>2a D、a′=2a
10、如图3-27所示，物块B和C分别连接在轻质弹簧两端，将其静置于吊篮A的水平底板上，已知A、B和C三者质量相等，且均为m，并知重力加速度为g，那么将悬挂吊篮的轻绳烧断的瞬间，则吊篮A、物块B和C的加速度分别为aA= ,aB= ,aC= 。
11、物块从倾角为θ，长为S的斜面的顶端由静止开始下滑，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求物块滑到斜面底端所需的时间。

12、一个与水平方向夹37°角的力F作用在一个质量m=2kg的物体上，如图3-28所示，物体在水平面上从A点由静止拉动4m，后撤去F，再运动0.4s后停在B点停下，物体与地面间动摩擦因数μ=0.5，求F的大小。(g=10m/s2，sin37°=0.6)

13、如图3-29所示，质量M=8Kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车右端加一水平恒力F，F=8N，当小车向右运动的速度达到1.5m/s时，在小车前端轻轻放上一个大小不s计，质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长，求从小物块放上开始经过t=1.5s，小物块通过的位移大上为多少？(取g=10m/s2)

14、带面水平的传送带以4m/s的速度顺时针运动，主动轮和被动轮的轴相距12m。现将一物体m放在A轮的正上方，如图3-30所示。物体和传送带间的动摩擦因数为0.2，则物体m经多长时间可运动到B轮的上方？(g取10m/s2)

1 5、一平板车，质量M=100kg，停在水平路面上，车身的平板离地面的高度h=1.25m，一质量m=50kg的小物块置于车的平板上，它到车尾端的距离b=1.00m，与车板间的动摩擦因数μ=0.20，如图3-31所示，今对平板车施加一水平方向的恒力，使车向前行驶，结果物块从车板上滑落。物块刚离开车板的时刻，车向前行驶的距离S0=2.0m，求物块落地时，落地点到车尾的水平距离S（不计路面与平板车间以及轮轴之间的摩擦，g取10/s2）

16、为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离，已知某高速公路的最高限速v=120km/h，假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速行所经历的时间(即反应时间)t=0.50s。刹车时汽车受到的阻力的大小f为汽车重力的0.40倍。该高速公路中汽车间的距离S至少应为多少？(g取10m/s2)

【素质训练答案】
一、牛顿第二定律应用
1、略 2、BC
3、(1)aA=3g 方向竖直向下 ab=ac=0
(2)aA=aC=0 aB=g 方向竖直向上
4、D 5、0, 1.5g 6、C 7、B 8、A 9、C 10、， 0
11、 12、10N
13、提示：木块放上后木块加速度am=μg=2m/s2，小车加速度，此木块与小车同速历时为t1，则v0+amt1=amt1，得t1=1s，以后木块与小车共同加速运动，加速度
。初速度，所以

14、4S 15、s=1.6m 16、S=160m