广东省东莞市第一中学、松山湖中学2012届高三上学期12月月考数学理试题）.doc

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2011年12月东莞中学松山湖学校高三月考理科数学试题

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知复数，则复数 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2
2
侧视图
2
2
2
正视图
俯视图
（3题图）
2．下列函数中，既是偶函数、又在区间单调递增的函数是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ).
（A） （B）
（C） （D）
4、函数在处的切线与坐标轴所围图形的面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．若实数满足则的最小值是 （ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）9
6．有四个关于三角函数的命题：（ ）

其中假命题的是 （ ）
（A）， （B）， （C）， （D），
7．离散型随机变量～（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数
的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，
每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，
＝＋，…，则第9行第4个数(从左往右数)为（ ）
（8题图）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)
9．已知
10． 已知向量，则
11．（）展开式中的系数为10，则实数
12．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是
13．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。
否
是
T=0，K=0
T=T+K
K=K+1

输出K
开 始
结束
（12题图）
X
Y
C
B
P
A

（13题图）

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.
第14题图

O
B
C
A
14.（几何证明选讲选做题）如图，点是圆上的点,
且,则对应的劣弧长为 ．
15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点
到直线的距离的最小值是 .

三．解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解答写在答题卡的指定区域内.)
16、( 本小题满分12分) 已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项;
（Ⅱ）求数列的前n项和

17、（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且满足.
（I）求角的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．

18、（本小题满分14分）
在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；

19. （本小题满分14分）
某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求，的值；
(Ⅲ)求数学期望ξ。

20. （本小题满分14分）
已知函数图象上一点处的切线方程为．
(Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数．

21．（本小题满分14分）
已知数列和满足，且对任意都有， .
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：.
2011年11月东莞中学松山湖学校高三月考理科数学试题参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
C
B
B
A
B
C
二、填空题
9. 10. 5 11. 2 12. 14 13. 4，
14. . 15.１.

三、解答题
16：（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设知公差，
由成等比数列，得……………………………4分
解得（舍去）……………………………………………………6分
故的通项…………………………………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………………………………………9分
由等比数列前n项和公式得………………12分

17. （本题满分12分）
解：（I）由正弦定理得…………………………2分
因为所以,从而………………………3分
又，所以，则………………………………5分
（II）由（I）知于是
………8分………………………………………………………………9分
从而当 取最大值2．…………………………………11分
综上所述，的最大值为2，此时………………………12分

18. （本题满分14分）
解：解法一：（Ⅰ）取中点，连结.
且，…………………………………2分
， 又.……………………………………4分
（Ⅱ）.
过作于，则，过作于，连结， 则.
∴为二面角的平面角. ………………………………………6分
。
又∵，∴.
∵，且.
在正中，由平几知识可求得，
在中，
∴二面角的余弦值为. ……………………………………………9分
（Ⅲ）在中， ，
. …………………………………10分
设点到平面的距离为，，，
.即点到平面的距离为. ……………………………14分
解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC
∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.………………………………2分
则A（2，0，0），B（0，2，0），
C（-2，0，0），S（0，0，2），
M(1，，0)，N(0，，).
∴=（-4，0，0），=（0，2，2），
∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，……3分
∴AC⊥SB.………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设为平面的一个法向量，
， 则取，则…… 6分
又为平面的一个法向量，
∴.………………………………………………8分
∴二面角的余弦值为.………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得为平面的一个法向量，
∴点到平面的距离.……………………………12分
19. （本题满分14分）
解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知
，，…………………1分
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，…………………4分
（II）由题意知

整理得 ，
由，可得，. …………………9分
（III）由题意知
=
=
= …………………14分

20．（本题满分14分）
解：（Ⅰ），，．
∴，且． …………………… 2分
解得． …………………… 3分
（Ⅱ），令，
则，令，得（舍去）．
在内，当时，， ∴ 是增函数；
当时，， ∴ 是减函数 …………………… 5分
则方程在内有两个不等实根的充要条件是………………6分
即． ………… 8分
（Ⅲ），．
假设结论成立，则有 ……………………………… 9分
①－②，得． ∴． …………… 10分
由④得，∴ …………………………… 11分
即，即．⑤
令，（)， ………………………………………… 12分
则＞0．∴在上增函数， ∴， …………… 13分
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴． ………………………………………………… 14分

21．（本题满分14分）
解析：(1)∵对于任意的n∈N*，都有，则代入，
得， ∴， 即，
∴数列为以为首项，1为公差的等差数列．
∵a1＝b1，且a1＋b1＝1，∴a1＝b1＝.
∴＝2＋(n－1)＝n＋1.∴an＝，bn＝1－an＝. ……………………………… 5分
(2)证明：∵an＝，bn＝，∴＝.
∴所证不等式＋＋＋…＋ < ln(1＋n) < ＋＋＋…＋，
即＋＋＋…＋ < ln(1＋n) < 1＋＋＋…＋.………………………… 7分
①先证明右边不等式：ln(1＋n)<1＋＋＋…＋.
令f＝ln(1＋x)－x，则f′＝－1＝－，
当x>0时，f′<0，即函数f在区间上单调递减，
∴当x>0时，f<f＝0，即ln(1＋x)<x.
分别取x＝1，，，…，，得ln(1＋1)＋ln＋
ln＋…＋ln<1＋＋＋…＋，
即ln<1＋＋＋…＋，
即ln(n＋1)<1＋＋＋…＋. ………………………… 10分
②再证左边不等式：＋＋＋…＋<ln(1＋n)．
令f＝ln(1＋x)－， 则f′＝－＝.
当x>0时，f′>0，即函数f在区间上单调递增，
∴当x>0时，f>f＝0，即ln(1＋x) > .
分别取x＝1，，，…，，得ln(1＋1)＋ln＋ln＋…＋ln > ＋＋…＋，
即ln > ＋＋…＋，即ln(n＋1) > ＋＋…＋.………… 13分
∴＋＋＋…＋ < ln(1＋n) < ＋＋＋…＋.………………………… 14分

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