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4 ．高阶偏导数
二阶及二阶以上的偏导数统称高阶偏导数，如 z = f （x ,y）的二阶偏导数按求导次序不同有下列四个：
5 ．全微分概念
若函数 z = f （ x ，y）的全增量
其中 A 、 B 仅与x， y 有关，而，则称函数z＝ f （ x ，y）在点 （ x ，y）可微分，并称为函数 z = f（x, y）的全微分，记作 dz ，即
函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。
习惯上，记,故
（二）多元函数连续、可（偏）导、可微分的关系
对于一元函数来说，函数可导必定连续，而可导与可微分两者是等价的。但对于多元函数来说，可（偏）导（即存在偏导数）与连续没有必然的联系，可（偏）导与可微分也并不等价。多元函数可微分必定可（偏）导，但反之不真。当偏导数存在且连续时，函数必定可微分。
上述多元函数连续、可（偏）导与可微分的关系，可用图 1-2-3 表示如下：
（三）偏导数的应用
1 ．空间曲线的切线与法平面
空间曲线：
在对应参数 t = t0 的点（ x0 , y0，z0）处的切线方程为
法平面方程为
2 ．曲面的切平面与法线
曲面∑： F （x，y , z ） = 0 在其上一点 M （ x0 , y0 , z0 ）处的切平面方程为
法线方程是
4 ．多元函数的极值
设 z = f （ x ，y）在点（ x0 , y0 ）具有偏导数，则它在点（ x0, y0 ）取得极值的必要条件是
设 z = f （ x ，y）在点（ x0 , y0 ）的某邻域内具有二阶连续偏导数，且
则有
（1）当 AC-B2 > 0 时，具有极值f（x0,y0），且当 A < 0 时，f（x0,y0）为极大值，当 A > 0 时， f（x0,y0）为极小值；
（2）当 AC-B 2< 0 时，f（x0,y0）不是极值。
（四）例题
【 例1-2 - 45 】下列结论正确的是
（ A ） z = f （ x , y）在点（ x , y ）的偏导数存在是f （ x , y）在该点连续的充分条件
（ B ） z = f （ x , y）在点（ x , y）连续是 f （ x , y）的偏导数存在的必要条件
（ C ） z =f （ x , y）在点（ x , y ）的偏导数存在是f （ x , y）在该点可微分的充分条件
（ D ） z = f （ x , y）在点（ x , y）连续是f （ x , y）在该点可微分的必要条件
【 解 】 由 z = f （ x , y ）在点 （ x , y）可微分的定义知，函数在一点可微分必定函数在该点连续，故（ D ）正确。
【 例 1 - 2 - 46 】 求曲线 x = t , y＝t2， z＝t3在点（ 1 , 1 , 1 ）处的切线及法平面方程。
【 解 】 因 x ' t = 1 ， y' t = 2t , z 't= 3t2，点（ l , 1 , l ）所对应的参数 t = 1 ，故曲线的切向量： τ= （ 1 , 2 , 3 ）。于是，切线方程为
法平面方程为
（ x - 1 ） + 2（y - 1 ） + 3 （ z - 1 ） = 0
即
x＋2 y＋3z - 6 =0
【 例 1 - 2 - 47 】
球面x2 + y2 + z2 = 14 在点（ 1 , 2 , 3 ）处的切平面方程是
（ A ） （ x － l ） + 2（y － 2 ）－（ z － 3 ） = 0
（ B ）（x ＋ 1 ） + 2 （ y + 2 ） + 3 （ z + 3 ） = 0
（ C ） （ x － 1 ） + 2 （y － 2 ） + 3 （ z － 3 ） = 0
（ D ） （ x + l ） + 2 （y＋2 ）－ （ z + 3 ） = 0
【 解 】 F（x,y,z）＝x2 ＋y2＋z2 - 14 ，曲面的法向量n= （ Fx，Fy，Fz）=（ 2x，2y , 2z ） , n|（ 1, 2 , 3 ） = （ 2 , 4 , 6 ） ，故曲面在点（ 1 , 2 , 3 ）处的切平面方程是 （ C ）。
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