高三文科数学027.doc

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期数： 0510 SXG3 027
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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提高篇二 高三数学（文科）综合试卷（二）
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知M={x|x=3k，k∈Z}，P={x|x=3k+1，k∈Z},Q={x|x=3k－1，k∈Z},若a∈M ,b∈P,c∈Q,则a+b－c ∈（ ）
A.M B. P C. Q D. M∪P
2．设函数f(x)=x+,则过点（2，）处的切线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
3．已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0,则=－1是l1⊥l2的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分，也不必要条件
4．函数f(x)=|x－1|+|x－2|+|x－3|最小值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
5．已知等差数列前n项和为Sn，若S15<0,S14>0,则此数列中绝对值最小的项为（ ）
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
6．若一个圆的圆心在抛物线y2=4x的焦点处，且此圆与直线x+y+1=0相切，则这个圆的方程是（ ）
A.x2+y2－2x－1=0 B.x2+y2+2x+1=0
C.x2+y2－2y+1=0 D.x2+y2+2y+1=0
7．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生但A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）等于（ ）
A. B. C. D.
8．已知线段AD∥平面α，且与平面α的距离等于3，点B是平面α内的动点，且满足AB=5，若AD=8，则点D与点B的距离d满足（ ）
A.d的最大值为最小值为 B.d的最大值为3，最小值为5
C.d无最大值，最小值为5 D.d的最大值为3，无最小值
9．A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9}，从集合A到集合B的映射中，满足f(1)≥f(2)≥f(3)≥f(4)≥f(5)的映射有（ ）
A.21个 B.27个 C.48个 D.56个
10．若f(x)是R上的减函数 ，且f(x)的图象经过点A（0，4）和点B（3，－2），则当不等式|f(x+a)－1|<3的解集为（－1，2）时，a的值为（ ）
A.0 B.－1 C.1 D.2
11．直线x－y+3=0与曲线=1的交点个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12．不等式①x2＋3＞3x ；②a2＋b2≥2（a－b－1）；③≥2，其中恒成立的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案直接填在题中的横线上)
13．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围是__________.
14．在(1－x)6(1+x+x2)的展开式中，x2的系数为__________.
15．将函数y=sin2x的图象按向量a=（h,k）平移（0<h<）得函数y=2sin2x的图象，则h+k等于__________.
16．已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD，如图，AD⊥AB，AD⊥DC，AB=2，BC=，CD=1，则这个三棱锥外接球的表面积是__________（结果可含π）.

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，若sinA=tanB,tan=sinB,求证：A=C.
18．（本小题满分12分）
某厂生产A、B两种产品，需甲、乙、丙三种原料，每生产一吨产品需耗原料如下表.现有甲原料200吨，乙原料360吨，丙原料300吨，若产品生产后能全部销售，试问A、B各生产多少吨能获最大利润.

甲
乙
丙
利润（万元/吨）
A产品
4
9
3
7
B产品
5
4
10
12
19．(本小题满分12分)
已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1,数列{bn}满足b10=23,b25=－22,且(bn+1－bn+2)logma1+(bn+2－bn)logma3+(bn－bn+1)logma5=0,(n∈N*).
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=|bn|,求数列{cn}前n项的和Sn.
20．(本小题满分12分)
如图，△ABC中，AC=BC，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，F为BE的中点，DF∥平面ABC，
（1）求CD的长；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角的度数.
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)= (3x－b)的图象过点A（1，2），B（2，5）
（1）求函数f－1(x)的解析式；
（2）记,n∈N*，是否存在正数k,使得
（1+）(1+)…(1+)≥k对一切n∈N*均成立，若存在求出k的最大值，若不
存在说明理由.
22．（本小题满分14分）
已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且·=0，|BC|=2|AC|，
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ,使=λ,请给出证明.

参考答案
一、1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.C 12.D
二、13.0<m<5 14. 10 15.+1 16.
三、17．本题主要考查正、余弦定理及三角公式的灵活运用能力.
证明：∵sinA=tanB,
tanB=,∴sinA= ∴cosB=,
由正、余弦定理得：,
∴a2+c2-b2=2bc ①
又tan=sinB,而tan=,
∴1+cosA=
∴1+,
∴b2+c2-a2=2ac-2bc ②
由①②得：2c2=2ac，
∵c ≠0，∴a =c,
∴A =C.
18．本题主要考查运用线性规划等数学知识解决实际问题的能力.
解：设生产A产品x吨，B产品y吨，利润为z.
则z =7x +12y.
由条件可知
如图，将y =-x +平移，
可知P(20,24)
即x =20，y =24时z最大.
答：A产品生产20吨，B产品生产24吨时获利最大.
19．本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式及分类讨论思想.
解：(1)设等比数列{an }的首项为a1，公比为q，则

代入已知等式，整理得：.
∵q≠1,∴logmq ≠0，
∵
即2bn+1=bn+bn+2,
故数列{bn}是等差数列.设其公差为d，则b25=b10+15d,
∴d==-3,
bn=b10+(n-10)d =23+(n-10)×(-3)=53-3n.
(2)当n <18时，bn>0,cn =bn,
∴Sn=b1+b2+…+bn =;
当n≥18时，bn <0,cn =bn,
∴Sn=b1+b2+…+b17-(b18+b19+…+bn)=2(b1+b2+…+b17)-(b1+b2+…+bn)
=2··,
∴Sn=
20．本题主要考查线线关系、线面关系、面面关系，考查二面角的大小计算以及空间想象能力、逻辑推理能力.
解法一：（1）取AB中点G，连FG、CG，则FG∥AE，
又AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD,
∴FG∥CD,∴F、G、C、D四点共面.
又平面FGCD∩平面ABC=CG，DF∥平面ABC，
∴DF∥CG,∴四边形FGCD是平行四边形，
∴CD=FG=AE=1.
（2）证明：直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中点，∴AF⊥BE，
又△ABC中，AC =BC，G是AB中点，∴CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，
∴AE⊥CG，
又AE∩AB=A，∴CG⊥面ABE.
∵DF∥CG，∴DF⊥面ABE，∴AF⊥DF，
又∵BE∩DF=F，∴AF⊥面BED，∴AF⊥BD .
（3）解：设面ADF∩面ABC=L，
∵DF∥平面ABC，∴DF∥L，
又DF⊥面ABE，∴L⊥面ABE，∴L⊥AF，L⊥AB，
∴∠FAB即为所求二面角的平面角.
直角三角形ABE中，易得∠FAB=45°
∴平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°.
解法二：（1）同解法一.
（2）取AB中点G为坐标原点（0，0，0），连GC，以GC为x轴正向,以GB为y轴正向.做GH⊥平面ABC，以GH为z轴正向，易证GH必过F点，由AB=AE=2.
由此得G（0，0，），A（0，-1，0），F（0，0，1），B（0，1，0），E（0，-1，2），D（x,0,1)，
=(0,1,1),=(x,-1,1)
∵·=0·x+1×(-1)+1×1=0，
∴AF⊥BD.
(3)由解法一可知，∠FAB为所求二面角的平面角.
=（0，1，1），=（0，2,0）
cosFAB=
∴∠FAB=45°.
21．本题主要考查函数、图象性质以及反函数、不等式等知识.
解：(1)由已知得 解得
∴f(x)=(3x+1)
令y =f(x),由y = (3x+1)得3x=2y -1,∴
∴
(2)
设存在正数k，使（1+）(1+)…(1+)≥k成立，
则k≤,
记F(n)= ,则
F(n+1)= ,

∴F(n+1)>F(n)，
∴F(n)是随n的增大而增大.
∵n ∈N*,∴当n=1时，F（n）min =F(1)=,
∴k≤,即k的最大值为.
22．本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查平面向量、直线斜率等基础知识，考查运算能力及综合运用数学知识解决问题的能力.
解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系
则A（2，0），设所求椭圆的方程为： =1(0<b<2),由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,
由·=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上，
∴=1,∴b2=,所求的椭圆方程为=1.
（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,
由 得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*）
∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为,设P（xP,yP）,Q(xQ,yQ),xP=,
同理xQ=,
kPQ=
而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0），
∴kAB=，
∴kPQ= kAB，∴与共线，且≠ 0,即存在实数λ，使=λ.