任意角的三角函数课例.doc

让探究学习在数学课堂中“生根”“发芽”
——课例《任意角的三角函数》
1.课例背景
探究学习是新课程倡导的学习方式之一，在数学课堂上推行探究学习，是实施新课程的必然要求，有利于调动学生的学习积极性，更大限度地促进个体认知发展。但在具体的课堂实施过程中，常常出现蜻蜓点水式的探究，没有留给学生充分的考虑、探索的时间，学生在一堂课结束后仍然不能消除疑问。
《任意角的三角函数》是人教A版·必修4· 1.2第一课时的教学内容，初中学生已经学过锐角三角函数，如何引导学生把这个定义推广到任意角？过去习惯用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法有利于引导学生从已有认知基础出发学习三角函数，但“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解。而利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，这个定义清楚地表明了三角函数从自变量到函数值之间的对应关系。两种不同的定义方法是否有冲突？如何让学生轻松地了解到两种定义的特点，理解人教版采用单位圆的良苦用心？
针对以上问题，笔者进行实践与反思，在课堂中采用有效探究，不断重视探究的理念，注重探究的形式，让探究学习在数学课堂中“生根”、“发芽”。
2、教学设计
2.1教学目标
知识与技能：了解任意角三角函数定义的背景和应用；掌握任意角三角函数的的定义；
过程与方法：通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想；培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。
情感态度与价值观：在学习中开阔视野，感受着数学文化的熏陶；感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性；体会数学的本质，培养追求真理的精神。
2.2教学重难点
重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；
难点：任意角的三角函数概念的建构过程；
2.3教学方法及教学手段
教学方法：运用探究学习，引导学生独立思考，发现问题，增强探究意识。
教学手段：利用多媒体辅助教学，增强教学的直观和生动。
2.4教学设计
【情境导入】
摩天轮的中心离地面的高度为h0，它的半径为r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒（一秒转了多少度？），若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，你能求出相对于地面的高度h与时间t的函数解析式吗？
问题1：初中锐角三角函数怎么定义呢？
问题2：能不能用终边上的点P的坐标来表示？
问题3：点P能否取在终边上的其它位置？为什么？
问题4：点P在哪个位置，比值会更简洁？
定义：在直角坐标系中以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。
问题5：当把P点取在角a的终边与单位圆的交点时，锐角三角函数就可以用单位圆上的坐标直接表示。
【形成概念】
任意角的三角函数的定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:（1）叫做的正弦,记做,即；
（2）叫做的余弦,记做,即；
（3）叫做的正切,记做,即
【例题分析】
例1. 求的正弦、余弦和正切值.
例2. 已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
【课堂反馈】
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限

【课堂小结】
由学生谈谈对任意角的三角函数定义的认识。体会教科书采用单位圆定义法与一般函数概念从“数集到数集”的统一之处。
【课后作业】教科书P20习题1.2A组1，2
3.课例实录
【创设情境】
师：同学们，先来看一组图片。你们有没有体验过游乐场的摩天轮呢？

学生被图片所吸引，表现出好奇的神色，私下里相互问“你玩过吗 ？”“没有啊，一定很刺激！”当老师用期待的眼神看着他们时，课堂一片沉默。
（显然，农村的学生玩过摩天轮的人数比较少，教师没有充分的考虑到这一点）
师：没玩过也没关系，让我们想象一下整个运动过程，当你处在坐舱中，相对地面的高度怎样变化呢？
（教师意识到这一点，马上换一种提问的方式）
生：有上升有下降，循环往复，周而复始。
师：我们把实物抽象成简单的模型，如图，相当于质点A在圆周上做旋转运动，而每转过一周，又重复运动，我们称为周期运动。
（学生这时才进入状态，刚才的躁动平静了下来）
［评：引例的选择不够贴近学生的实际生活，摩天轮是大城市游乐场的设施，农村的孩子到市区的机会较少，没有体验过很难“兴奋”起来，比教师预期的效果会差一些］
师：我们做如下的假设：摩天轮的中心离地面的高度为h0，它的半径为r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒（一秒转了多少度？），若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，你能求出相对于地面的高度h与时间t的函数解析式吗？
（教师知道这个实际问题的解决有一定难度，给学生充分的考虑时间。）
布置好讨论内容后，教师走下讲台。参与到学生的讨论中去。他看到一个组的学生在看书没有讨论，俯身说：“你们要讨论一下，想想已学过的函数有没有这种性质，应该用怎样一个函数模型来刻画？”四个学生马上讨论了起来。教师又走到另外一个组，参与到组内讨论，并鼓励说：“你们组讨论的很不错，等下谈谈你们的看法。”教师在学生讨论的时候，走遍了整个教室。不时地参与了简单的讨论，有时也做了些讲解和鼓励。
［评：课堂探究既有学生的讨论，也有师生的共同商讨。一、老师的参与讨论，很好地体现了课堂管理者和参与着的角色。二、教师的点评，强化了探究学习师生共同体意识。］
大约四分钟后，在学生热烈的声音平静下来后，教师开始请学生回答问题。
生1：从点A运动到某时刻点P时，人相对于地面的高度。其中表示点P到水平位置OA的距离。
（生1刚要坐下，另一个小组的生2马上有反对意见）
生2：这个式子需要修改，应该是。
（显然其他同学也赞同生2的见解，但其他组也有自己的想法）
生3：题目的要求是：求相对于地面的高度h与时间t的函数解析式，前两组的同学的结论还不够完全，他们都没出现自变量t。
生1：是一个变量，随着时间t变化，点P的位置在变化，角度∠POA在变化，进而的值在变化。
生3：我们组采用了代特殊值法，比如当
，，
，，
师：老师综合两种意见，同学们的想法是利用初中锐角三角函数：
，，
，，
那么当t超过90，就变成了钝角，当t超过180，360等等，就是任意角的范畴了，能否做这样的猜想：一般的，过了t秒之后，，这个式子合理吗？
（这个问题一下子引起了学生认知冲突，学习的兴趣调动起来，教师深知此时再放手让学生去探究，效果可能不佳，这里有必要加入教师的提示与引导）
［评：这一环节，教师充分考虑到学生的认知情况，调动学生的积极性，让集体的智慧为课堂注入动力，生生之间的互评，可以发现问题，从而改进不足，教师最后做关键性的点评，使得探究的进程推进了一大步］
【探求新知】
师：这个猜想形式简洁，老师也不愿意舍弃，要做到合情又合理，我们与比较，要想两者和谐统一，必须有：即，这个式子何时取正值，何时取负值？
（教师从刚才的学生探究中找到信心，再次提出问题，继续深入讨论。）
生4：我用计算器验证下，把放在坐标系内，当角是第一、二象限时，它的正弦值是正的，当角是第三、四象限时，它的正弦值是负的。
师：这个结论是正确的，如果用题目中的r来表示，参照生4的发现，用怎样的一个量来代替，可以使上面的表述更简洁？
（此时，学生在教师这个提示下，似乎有了灵感，大家再次讨论起来）
生5：在直角坐标系下，点P的纵坐标y刚好可以反映或者
［评：这一环节教师起主导性作用，随着探究的深入，学生遇到的困难会加大，教师恰时恰当地给予帮助和指导，通过师生的互动，让学生的探究结果得到很大的提炼，合情合理地解决学生在探究中产生的疑惑。］
【形成概念】
任意角的终边上一点，点P到原点O的距离=r，则任意角的正弦函数： 。
师：当角是锐角，这样规定与初中定义有矛盾吗 ？（学生都觉得不会有矛盾）那么你能从锐角的余弦函数和正切函数也推广到任意角的情况，得出 吗？
（学生也能很快从锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数类比到任意角的余弦函数和正切函数中来，也相应找到坐标的比值来刻画）
师: 这个比值会不会随着点P在的终边上位置的改变而改变？r取多少时，会使得比值更加简洁？
通过这样的探究，师生共同归纳出利用单位圆定义任意角的三角函数的定义
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
（1）叫做的正弦,记做,即；
（2）叫做的余弦,记做,即；
（3）叫做的正切,记做,即
师：这正是我们教科书上的定义方式，请同学们阅读教材。教师小结：三角函数的以上两种方式是等价的，都是表示点P的纵坐标与r 的比值。只是在单位圆的背景下， r＝1，从形式上看更简洁。我们教科书上就选用了单位圆背景下的定义方式。
［评：探究的最终目的是为了解决问题，通过一系列的探索，学生从初中所掌握的锐角三角函数推广到任意角的三角函数，知识得到了延伸，初高中的知识也得到紧密的衔接，自然过渡，完美定义］
【例题分析】
例1.求的正弦、余弦和正切值.
例2．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
［评：有了前面如此深入的探究，包括图示，学生理解了用坐标比值来解决三角函数问题，这两个例题也就不会成为绊脚石。］
【课堂反馈】
师：请同学们尽可能多的写出任意角的三角函数值，四大组比一比，课代表做记录。
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限

这个环节上，教师鼓励学生尽可能多地写出三角函数值，而学生跃跃欲试，当第一象限的特殊角的三种三角函数全写出来后，聪明的学生就可以根据符号的特点以及对称的性质口述出其他象限内很多相关的角的三角函数值，已经把下一节有关三角函数的符号问题也理解了。
［评：此时已经临近下课，但学生合作的热情还很高，当学生在一节课中有感悟，有收获，尤其还找到小技巧，他就会全身心地投入到反馈演练中，能以此来证明自己和体验快乐］
【课堂小结】
师：等会儿就下课了，你走出教室，有人问你：“过去你就知道了锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？
（学生各抒己见，表达了自己对任意角三角函数的新认识）
［评：教师以这样的形式把小结的任务交给学生，给学生表达感受的机会，据课堂的反应可以看出学生有话可说，说的也头头是道，明确地回答新旧知识之间的联系与区别，轻松收尾，又完整结束。是一个不错的小结方式。］
【课后作业】教科书P20习题1.2A组1，2
4.课例点评
本节课第一个亮点：充分利用问题情境进行探究，反映概念的本质，如果简单的从复习锐角三角函数出发，直接推广到任意角三角函数，虽然有利于学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但对学生理解数学是不利的，学生对于结论会产生以下的疑惑：（1）为什么要学习了任意角后就要研究任意角三角函数？（2）任意角三角函数定义为什么要引入坐标系？（3）正弦为什么规定用y比r，而不是y的绝对值比r？而本节课特别设置了摩天轮，以数学实际应用为线索，由学生在实际需要中完成任意角的三角函数概念的建构过程。通过这个探究学习，体会数学模型的思想、数形结合思想。
第二个亮点：教师成功地运用探究学习，表现如下：（1）教师注重探究的必要性，在需要的时候留足时间给学生讨论和交流，在交流中摒弃错误，较快的找准正确方向。在不需要的时候就不作无谓的探究，充分地考虑课堂的实效性。（2）教师注重探究的形式，利用生生互动，以及师生互动，学生交流比较充分，讨论氛围较好，思维活跃。（3）探究的力度能视学生情况而定，比如在概念形成和例题分析后，教师采用小组比赛的活动环节，学生此时不仅要会运用定义，而且要在较短的时间内找到方法，根据点对称很快就找到相关点的坐标，为下节课继续学习三角函数在各个象限的符号和诱导公式埋下伏笔。（4）教师管理到位，让课堂处于有序的状态，保持学生的探究积极性。
第一个不足：创设情境尽量贴近学生的实际，来源于学生周围的资源，这样更能引起学生的共鸣，让学生从感兴趣的实际背景中兴奋起来。
第二个不足：探究学习需要调动每个学生的智慧，当探究的问题有一定难度的话，往往会变成几个好学生的交流，若能在探究学习中融入分组讨论，使全班学生明确职责，让每个学生参与到探究学习中，使每个学生在积极互动中得到鼓励和提高，小组的向心力也能提高整个课堂的凝聚力。
第三个不足：探究学习需要保持学生的积极性，能有一定的奖励机制更好，比如和学生的发展性评价联系起来，作为平时的表现成绩与期末考试挂钩，利用考试的评价制度激励学生热情地参与课堂的探究生成中。
5．课例反思
教学设计中摩天轮情境本想只做为一个引子，来说明初中所学的锐角三角函数向任意角的三角函数推广的必要性，原本仍然以复习锐角三角函数入手，但是在备课的时候就一直困惑，如何将锐角三角函数自然过渡到钝角三角函数，如果这一步能顺利完成，那推广到任意角的情况就水到渠成了。而在实际的课堂过程中，放手给学生探究时，发现学生的思路比较开阔，于是就决定给学生探究的机会，效果反而比较好，之前的疑难之处却能较好的解决了，这一课留给我的启发很大，探究学习在数学课堂中起着重要的作用，是每个教师改变教学行为的一个重要途径， 同时也间接的影响着学生的学习方式。
要做到探究学习在数学课堂中“生根”，扎根于课堂，首先要做到培养学生的探究意识和养成探究的习惯。在现实的数学课堂上，老师们经常遇到一个问题：高一的学生对课堂探究兴趣盎然，因为刚从初三上来，年龄轻、学业压力小、又有表现的欲望，所以对动脑和动口很有兴趣，符合他们的生理特点。但是到了高二和高三，学生因为更多要应付考试，考试的动机驱动明显，而探究兴趣索然，与他人的合作与探讨也没有很多的欲望。这种现象普遍存在，最好的办法是养成习惯。通过日常教学常态式的探究学习，让这样的学习方式成为学生一生的习惯而不是在某节课堂的“灵光一现”。
要做到探究学习在数学课堂中“发芽”，成为教学手段的一朵奇葩，必须要组织好探究形式。杨振宁说：“如果说在过去还有可能一个人独立完成诺贝尔奖项的话，那么，进入20世纪80年代以来，尤其是进入信息社会以来，没有人们的共同参与，相互合作，任何重大发明创造都是不可能的。”个人的思维容易受到阻力，而在小组中，具有不同智慧水平、不同知识结构、不同思维方式的成员可以相互启发，相互补充，在交流的撞击中，产生新的认识，上升到新的水平，用集体的力量共同完成学习任务。当所有的人聚集在一起为了一个共同的目标而努力时，靠的是相互团结的力量，让每个成员产生动力。
要做到探究学习在数学课堂中“开花”不至于“昙花一谢”，必须正确认识教师的角色，让探究产生持续的动力。尽管是探究学习，学习过程中仍要体现“教师主导，学生主体”这一精神，学生在探究过程所涉及到的观察、思考、推理、猜想、实验等不可能完全独立完成，需要教师在关键时候给予必要的提示，当学生遇到困难的时候，教师及时帮助，疏通知识结构；当学生失去信心决定放弃的时候，教师要多加鼓励，小小的提示可以成为学生灵感的源泉；当学生朝着大方向又迈进一大步的时候，教师要多多表扬与激励，教师若能把握好“介入”的时机，就可以提高一节课40分钟的效率，加速探究的进程。

【参考文献】
1、施丹 《浅谈探究学习的主动性》科学大众 2006.4
2、徐学福 《探究学习的内涵辨析》教育科学 2006.6
3、刘凤云 《如何进行小组合作探究》今日中国教研 2009.4
4、刘艳妮 《论探究学习实施策略》新乡学院报 2011.2

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