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拉普拉斯变换及反变换培训资料.ppt

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资源描述
第,*,页,控制工程基础,黄河科技学院,拉普拉斯变换及反变换,拉氏变换是这样一种变换,即在一定的条件下,它能把一实数域中的实变函数,变换为一个在复数域内与之等价的,复变函数 。,1)、典型函数的拉氏变换,(,k,=const),单位阶跃函数,记作1(t),(1)阶跃函数(位置函数),(2)斜坡函数(又称速度函数),(,k,=const),单位斜坡函数,(3)抛物函数(又称加速度函数),(,k,=const),单位抛物函数,(4)单位脉冲函数,重要性质,(5)指数函数,指数增长函数,指数衰减函数,指数增长函数,指数衰减函数,(6)正弦函数,(7)余弦函数,2、拉氏变换的运算法则,(1)线性定理,(2)延迟定理,(3)位移定理,(4)相似定理,(5)微分定理,微分定理推论,特别在零初始条件下,(6)积分定理,当初始条件为零时,则,(7)初值定理,(8)终值定理,(10),象函数的积分性质,(9)象函数的微分性质,的拉氏变换,的拉氏变换,(11)卷积定理,二、拉氏反变换及其计算方法,式中,表示拉普拉斯反变换的符号,1、拉氏反变换,由象函数求原函数的方法:,方法一:利用拉氏反变换定义求,方法二:查拉氏变换表求解,方法三:,部分分式法,不常用解,对简单的象函数适用,象函数为有理分式函数时适用,2、拉氏反变换的计算方法,应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一般步骤:,(1)计算有理分式函数,F,(,s,)的极点;,(2)根据极点把,F,(,s,)的分母多项式进行因式分解、并进一步把,F,(,s,)展开成部分分式;,(3)对,F,(,s,)的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。,1)当解出 为单根时,对,F(s),作因式分解:,其中,例,解:,(1),F,(,s,),的极点,(2)对,F,(,s,),的分母多项式进行因式分解、并把,F,(,s,),展开成部分分式,(3)进行拉氏反变换,2)当解出,s,有重根时,对,F(s),作因式分解:,其中,例,解:,3)当解出,s,有共轭复根时,对,F(s),作因式分解:,例,解:,两边同乘以,得,乘共轭,(-1-j2),其中,用MATLAB展开部分分式,p=1 -12 0 25 126,p=,1 -12 0 25 126,设:,在MATLAB中,多项式通过系数行向量表示,系数按降序排列。,如要输入多项式:,x,4,-12x,3,+25x+126,用,num,和,den,分别表示,F,(,s,),的分子和分母多项式,即:,num,=,b,0,b,1,b,m,den,=,a,0,a,1,a,n,MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开,其句法为:,r,p,k=residue(num,den),其中,r,p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。,若无重极点,MATLAB展开后的一般形式为:,若存在,q,重极点,p,(,j,),展开式将包括下列各项:,例,:求,的部分分式展开。,num=1 11 39 52 26;,den=1 10 35 50 24;,r,p,k=residue(num,den),r=,1.0000,2.5000,-3.0000,0.5000,p=,-4.0000,-3.0000,-2.0000,-1.0000,k=,1,展开式为:,例,:求,的部分分式展开。,num=1 0 0 10 5 6;,den=1 5 9 7 2;,r,p,k=residue(num,den),r=,-4.0000,20.0000,-20.0000,10.0000,p=,-2.0000,-1.0000,-1.0000,-1.0000,k=,1 -5,展开式为:,num,den=residue(r,p,k),函数 residue 也可用于将部分分式合并,其句法为:,r=1 2 3 4;p=-1-2-3-4;k=0;,num,den=residue(r,p,k),num=10 70 150 96,den=1 10 35 50 24,例,:,应用拉氏变换解线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为,s,的代数方,程;,解代数方程,得到有关变量的拉氏变换表,达式;,应用拉氏反变换,得到微分方程的时域解。,原函数,(微分方程的解),象函数,微分方程,象函数的,代数方程,拉氏反变换,拉氏变换,解,代,数,方,程,拉氏变换法求解线性微分方程的过程,解,:对微分方程左边进行拉氏变换:,实例,设系统微分方程为:,若,x,i,(,t,),=1(,t,),初始条件分别为,x,o,(0)、,x,o,(0),试求,x,o,(t)。,即:,对方程右边进行拉氏变换:,从而:,应用拉氏变换法求解微分方程时,由于初始,条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式,中,因此,不需要根据初始条件求积分常数,的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零,微分方程的拉氏,变换可以简单地用,s,n,代替,d,n,/,dt,n,得到。,由上述实例可见:,系统响应可分为两部分:零状态响应和零输,入响应,所以:,查拉氏变换表得:,当初始条件为零时:,零状态响应,零输入响应,此课件下载可自行编辑修改,仅供参考!感谢您的支持,我们努力做得更好!谢谢,
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