概率论复习题（答案）.doc

1、已知，若互不相容，则= 1/3
2、设P(A | B)=1/4, P()=2/3, P(B | A)=1/6，则P(A)＝ 1/2
3、已知，若互不相容，则= 0.6
4、已知,则 0.1
5、设，若与独立，则 0.6
6、已知，，， 则 0.25
7、一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为 7/15
8、一个口袋中装有4个白球和2个黑球,现从袋中取球两次,每次一球, 取出后不再放回,则两球均为白球的概率为 2/5 两球颜色相同的概率为 7/15 两球中至少有一个是白球的概率为 14/15
9、设随机变量的分布律为
X
1
4
7
P
0.1
0.3
0.6

记的分布函数为，则 0.4
10、设随机变量服从正态分布N(9,16)，F(2)=0.9772，则概率P{9<X£17}= 0.4772
11、设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=
则系数 c = 1/4
12、设二维随机向量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ，则当0£y£1时，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)= y+1/2
13、已知X的密度函数为，则 1/2.1 ， 1/4.41
14、设随机变量服从上的均匀分布，则 2（a+b） ，
15、设，则 5.8
16、已知，则 12
17、设容量为3的样本取自总体X,X服从参数l为3的指数分布，为样本均值，则E()= 1/3
18、若，且相互独立，则 N（-4，48）
19、设随机变量X服从的正态分布，则D(X)= 0.25 ,数学期望是 0
20、设随机变量X服从N (3,0.7 2 )的正态分布，则E(X-1)= 2
21、已知，随机抽取容量为16的样本，则 1
22、设是来自总体的样本，则当常数 1/3 时，是参数的无偏估计。
23、设随机变量X～N(1，2)，Y～N(2，3)，Cov(X,Y)=0.4，求D(X+Y)和D(X-Y)的值。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)= 2+3+2´0.4 = 5.8

24、已知求D(X+Y)和D(X-Y)的值。32.2；17.8
解：

25、设随机变量和的密度函数分别为，，
（1）求，；（2）若相互独立，求
解：

26、设随机变量的概率密度函数为，求。
解：

27、设随机变量的概率密度为，求
解：

28、设总体服从正态分布N(0,0.25)，X1，X2，…，X7为来自该总体的一个样本，要使a~ c2(7)，求常数a的值。
解：因为X~N(0, 0.25) Þ 2X~N(0,1)，即2Xi~N(0,1)，
根据c2分布的定义得到：~ c2(7) ，即4~ c2(7)。所以a=4。
29、设随机变量X~c2(3)，Y~c2(4)，且X，Y相互独立，求c的值，使得 ~F(3, 4)。
解：因为 ~ F(3,4)，即 =
Þ 4c=36 Þ c=9

30、 X1,X2,…,Xn是均匀分布总体X～U[0,3q]，q>0的样本，q是未知参数，记，求q的矩估计量。
解： ，，
，， 。

31、设总体具有分布律

0
1
2
3

其中为未知参数。求的矩估计量。
解：，
，
令，即，故得的矩估计量为。

32、设随机变量的概率密度为 求：(1) 的值；(2) X的分布函数。

解：(1)
(2)

33、设随机变量X的分布函数为F(x)=，
求： (1)常数A和B； (2)概率密度f(x)。
解：(1) 1=F(+∞)= 4A Þ A=1/4,
因为F(x)在X=0处右连续，即F(0+)=F(0)，
注意F(0+)=4A-3B，而F(0)=0，所以B= 1/3
即 F(x)=，注意X~exp(2)
(2)X的概率密度f(x)=F¢(x)= .
34、设二维随机变量(X, Y)在由直线与两坐标轴围成的区域上服从均匀分布，求边缘概率密度。

解：

35、某商场出售的手机中，甲公司的产品占80%，乙公司的产品占20%，甲产品的合格率为95%，乙产品的合格率为97%，求某顾客买一手机是合格品的概率。
解：设事件A1={取出的为甲厂的产品}, A2={取出的为乙厂的产品},
事件B={取出的为合格品}。
由已知P(A1)=0.8, P(A2)=0.2, P(B|A1)=095, P(B|A2)=097 ,
所求的为P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)=0.8´0.95+0.2´0.97=0.76+0.194=0.954

36、某仓库有一批产品225件，它由甲、乙两厂共同生产，其中甲、乙两厂分别有正品100件与90件，次品分别有20件与15件,现从仓库中任取一件,在已知取到次品的条件下,求取得乙厂产品的概率。
解：设事件A—取得产品为甲厂生产的，事件B—取得产品为甲厂生产的，事件C—取得产品为次品
由题设，用全概率公式，
P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)= 120/225×20/120+105/225×15/105=35/225
由贝叶斯公式，
P(B|C)=P(BC)/P(C)= P(B)P(C|B) /P(C)= （15/225）/（35/225） =3/7
在已知取到次品的条件下,取得乙厂产品的概率为3/7

37、由临床记录，被诊断患癌症者试验反应为阳性的占95%，非癌症患者试验反应为阴性的占98%，现用这种试验对人群进行普查，如果已知这些人中患有癌症的概率为0.4%，试求试验反映为阳性的人，诊断确实患癌症的概率。
解：设事件A—试验反映为阳性，事件—试验反映为阴性，事件B—诊断确实患癌症，事件—未患癌症
由题设知道P(B)=0.004，P()=0.996，P(A|B)=0.95，P(|)=0.98，
则P(A|)=1- P(|)=1-0.98=0.02
由全概公式： P(A)=P(B) P(A|B)+ P()P(A|)
=0.004×0.95+0.996×0.02=0.02372
由贝叶斯公式： P(B|A)= P(BA)/P(A)=P(B) P(A|B)/P(A)
=0.004×0.95/0.02372=01602
故试验反映为阳性的确实患癌症的概率0.1602。
38、设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。
试问：X与Y是否相互独立？为什么？
解：(1) E(XY)=0´0´0.1 + 0´1´0.2 + 1´0´0.3 + 1´1´0.4 = 0.4 ；
(2) 因为EX=0´0.3 + 1´0.7 = 0.7
EY=0´0.4 + 1´0.6 = 0.6
所以 Cov(X,Y)=E(XY) – (EX)(EY) = 0.4 – 0.7´0.6 = -0.02 。
当然X与Y不相互独立，(因为E(XY) ¹ (EX)(EY))

39、某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为0.2，求在任一时刻有2100个以上的用户访问该网站的概率.(取F(2.5)=0.9938)。
解：设X为该时刻访问该网站的用户数，则X~B(n, p)，其中n=10000，p=0.2。
Þ EX=np=2000，DX=np(1-p)=1600，
根据中心极限定理有 近似服从正态分布，
所求的为P{X>2100}=1-P{X£2100}=1-P{£}= 1-F(2.5)=1-0.9938=0.0062.

40. 对敌阵地进行炮击,每次炮击中,炮弹击中目标的颗数的数学期望为4,方差为2.25,试用中心极限定理求在100次炮击中,有380到420颗炮弹击中目标的概率的近似值.
(F（1.33）=0.9082, F(1.5)=0.93)
解：设—第i次炮击命中，i=1,2,…，100,EXi=4,DXi=2.25
X=求P(380<X<420),EX=n EXi=400,DX=n DXi =225
P(380<X<420)=P()=F(20/15)-F(-20/15)=2 F(20/15)-1
=2F(1.33)-1=2*0.9082-1=0.8164

41-42、书P132 习题3、7

43、从某面粉厂生产的袋装面粉中抽取4袋，测得重量(单位:kg)如下：24.6, 25.4, 24.8, 25.2,
假设袋面粉的重量X~N(m, 0.32)，试求m的置信水平为0.95的置信区间。
解：a=0.05, a/2=0.025, u0.025=1.96, =25, n=4, s=0.3 ,
因为u=~N(0,1), m=±ua/2 = 25±1.96´ = 25±0.294
m的置信区间为(24.706, 25.294)。

44、用某仪器间接测量温度，重复五次，测得数据如下：
12500，12650，12450，12600，12750
假定温度X~N (m,s2)，试估计温度m的置信水平为0.99的置信区间。
解：已知总体X~N(m,s2),s2未知,
所以选随机变量u=，n=5, a=0.05
，
=
=14.8219
a=0.05的总体均值m的置信区间为（）=（1244.17810，1273.82190）