数学解题真经(五)化归思想.doc

化归思想---杨飞
数学解题思想就是化归寻旧思想，我们首先探讨操作过程中的化归思想。就是在加工信息的操作活动中，把一个数学问题的某一项信息或几项信息进行形式上或内容上的处理，使它以新的形式或新的内容呈现出来。这种加工处理信息的操作规律称为化归思想。
化归思想在解题过程中所呈现的形式通常有两种：形变化归与题变化归。
形变化归
在数学问题的解答过程中，把问题的某一项信息或一组信息进行形式上的加工处理，使这项信息或这组信息与我们认知结构中（尤其是熟悉结构）的某项知识经验取得联系，让问题由陌生变得熟悉。这种处理信息的操作规律称为形变化归。如：恒等变形、因式分解、配方、拆项、添项、换元、分类、移图、补形、数学语言化等解题方法都是形变化归在解题实践中的具体体现。从根本上说，这些解题手段并没有改变问题信息的实质和内容，只是使信息的表述形式发生了变化。
例1 已知，求证：.
问题的信息①：，表示之间的一次关系式；信息②：表示之间的三次关系式. 从这两项信息可以看出，此题要求把关于的一次关系式进行逻辑变化转化为关于的三次关系式。
证明 因 (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
从A到B和从C到D，用立方和公式、提公因式与合并同类项等手段进行因式分解而变形，这些都是形变化归.
例2 已知，且，求证： (A)
证明
= （B）
。
此题是一个条件极值问题，信息①：；信息②：；信息③：关于的不等关系.通过添项由（A）式变为（B）式，问题在表述形式上发生了变化，虽然仍是一个条件极值问题，但解题思路已豁然开朗. 这就是形变化归的功效！
题变化归
在数学问题的解答过程中，把数学问题的某一项信息或一组信息进行加工处理，使问题信息的形式得以更新，内容得以发掘和拓展。这种加工处理信息的操作规律我们称为题变化归。如构造法、待定系数法、三角变换法、数形结合法等等都是题变化归。从本质上说，这些解题手段已经改变问题信息的实质和内容，使问题以新的形式和新的内容呈现出来。
例2的另证：
因，
则
因为，对恒成立.令，所以
我们通过添项、、，将问题转化为简单的带参均值不等式模型. 于是一个不等式证明问题已化为一个二次函数求最大值的问题. 化难为易，精妙之至！
例3 已知，，求的最大值.
P
x
y
-2
O1
-1
解 因为，由复数几何意义，此项信息表示的几何图形是以为圆心，2为半径的圆，如下图.

因是表示复数z与复数1所对应点之间的距离. 求的最大值，就是求圆上的点Z到点的距离的最大值. 由图形可知，只需求出点到园心的距离即可. 因此，所求的最大值.
此题信息①：，表示复数的模为2；信息②：求复数的模的最大值.上述解答首先将数的信息（模）用形的信息（图形）进行描述，其后又进行题变化归，对信息进行挖掘，将求的模的最大值转化为求圆上的点到P点的最大距离，从而使信息②的内涵发生根本性的变化，这就是题变化归.
由前面的论述可以看出：
1．形变化归和题变化归不是孤立地表现在解题的过程中，常常结伴而行。
2．形变化归和题变化归在解题过程中并非流星一闪，而是多次反复出现在解题过程中。
3．形变化归和题变化归紧密联系，形变化归是基础，题变化归是结果，题变化归离不开形变化归。
4．形变化归是题变化归的基础，也是化归思想的基础，更是问题解决的基础。华罗庚先生生前很重视“看家工夫”，其中一招就是“方法技巧”。虽然华老所说的“技巧”不一定就是形变化归，但肯定也含有形变化归之意。所以，一位优秀的解题高手，首先必须具备良好的形变化归能力。