东城区2011-2012学年第一学期数学期末统一检测试卷及答案.doc

2011-2012东城九上北京中考一对一 393002000@
东城区2011—2012学年第一学期期末统一检测初三数学试题 2012.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．抛物线的顶点坐标是
A．（2，1） B．（-2，-1） C．（-2，1） D．（2，-1）
2．下列图形中，是中心对称图形的是

A B C D
3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为
A.8 B.9 C.10 D.12
4.下列事件中，属于必然事件的是
A. 随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝上
B. 打开电视任选一频道，正在播放北京新闻
C. 一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
D. 某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖
5. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°， 则∠C的度数为
A．116° B．58° C．42° D．32°
6．已知x=1是方程x2+bx +b -3=0的一个根，那么此方程的另一个根为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
7. 如图，直径AB为6的半圆O，绕A点逆时针旋转60°，此时点B 到了点，
则图中阴影部分的面积为
A.6π B.5π C.4π D.3π
8. 已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为

二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．已知关于x的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是 ．
10. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上， OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时, 的值为 ；当时，的值为 .(用含n的式子表示)
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解方程： .
14．已知排水管的截面为如图所示的圆,半径为10，圆心到水面的距离是6，
求水面宽.

15．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足且∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，求DB 的长.

16．在平面直角坐标系xoy中，已知三个顶点的坐标分别为
⑴ 画出；
⑵ 画出绕点顺时针旋转后得到的，并求出的长.

.

17. 已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
-1
0
3
…
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3) 若A（m,y1）,B(m+2, y2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，
18．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC=1米，CD=5米，请你根据所给出的数据求树高ED.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，请你计算AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．

20. 如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.
(1) 求证：CD为⊙O的切线；
(2) 若CD=2AD，⊙O的直径为10，求线段AC的长.

21. 在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 .
（1）求口袋中红球的个数；
（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个.请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.
22．李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2 000千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
（1）存放x天后，将这批核桃一次性出售，如果这批核桃的销售总金额为y元，试求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计340元，李经理要想获得利润22 500元，需将这批核桃存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知：关于的方程.
（1） 当a取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2） 当整数a取何值时，方程的根都是正整数.

24．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.
（1）如图1, 当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长(直接写出结果).

25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C（0 , 4），D为OC的中点.
（1）求m的值；
（2）抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

东城区2011-2012学年度第一学期期末统一测试参考答案
初三数学
一、 选择题（本题共32分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
D
A
A
B

二、 填空题（本题共16分，每小题4分）
题号
9
10
11
12
答案

三、 解答题（本题共30分，每小题5分）

.
14. 解：过O点作OC⊥AB，连结OB.………1分
∴ .…………2分
在Rt△OBC中，.
∵ ,,∴ 可求出.………4分 ∴ .
答：水面宽为16.…………5分
15．解：在△ACD和△ABC中，
∵ ∠ACD =∠ABC，∠A是公共角，
∴ △ACD∽△ABC. ………2分
∴ .……3分
∵ AC = 2，AD = 1，∴ .………4分
∴ DB= AB - AD= 3.………5分
16．解：⑴如图所示，即为所求. …1分
⑵如图所示，
即为所求. …3分

17．解：
（1）由表格可知，二次函数图像y=x2+bx+c图象经过点（0，3）和点（1 , 0），
可求出，b=-4, c=3 .
∴ . ………2分
（2）当x=2时，y有最小值，最小值为-1 . ………4分
（3）将A（m,y1）,B(m+2, y2)两点分别代入，
则有 ，
. ……5分
18．解：过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H.
由题意可得 四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，
AB∥CF∥DE.
∴ △AHF∽△AGE . ………2分
∴ .
由题意可得
, .
∴ .∴ GE = 9 . …………4分
∴ .
答：树高ED为10.6米. …………5分
四、 解答题（本题共20分，每小题5分）
19.解：设m，则 m . ………1分
根据题意可得， . ………2分
解得 ………4分
答：AB的长为1 m . …………5分
20．（1）证明：连接OC. ……………………………………1分
∵ 点C在⊙O上，OA=OC，∴
∵ ，∴ ，有.
∵ AC平分∠PAE，∴ ∴ ………1分
∴
∵ 点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴ CD为⊙O的切线.…2分
（2）解:连结CE.
∵ AE是⊙O的直径，∴ .∴ .
又∵ ,
∴ ∽. ………………3分
∴ .
又∵ CD=2AD ,∴ CE=2AC . ……4分
设AC=x .
在中，由勾股定理知
∵ AE=10,∴ 解得. ∴ .…5分
21．解：（1）设袋中有红球x个，则有
.解得 x=1.
所以，袋中的红球有1个． ………1分
（2）画树状图如下：
2 1 3 2 1 3 1 1 2 3 3 2
开始 始
白 　　白 　　　　 　 红 黄
白 红 黄
第二次
第一次
得分
白 白 黄
白 红 黄
白 白 红

…………3分
由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种．其中摸出两个得2分的有4种.
∴ （从中摸出两个得2分）=．…………5分
22.解：（1）由题意得与之间的函数关系式为
＝
=（≤≤60，且为整数）． ………2分
（2）由题意得：-10×2000-340=22500 ． ………4分
解方程 得：=50 ，=150（不合题意，舍去）．
答：李经理想获得利润22500元需将这批核桃存放50天后出售. ………5分
23．解：（1）∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴
∴ 且. ………2分
（2）① 当时，即时，原方程变为.
方程的解为 ； …………3分
② 当时，原方程为一元二次方程 .
.
………4分
∵ 方程都是正整数根.∴ 只需为正整数.
∴ 当时，即时，；
当时，即时，； ………6分
∴ a取1，2，3时，方程的根都是正整数. ……7分
24． 解：（1）线段DF、CF之间的数量和位置关系分别是相等和垂直.
…………1分
（2）（1）中的结论仍然成立.
证明： 如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G. ………2分………2分
∵ ，
∴ DE∥BC.∴ .
又∵ F为BE中点，
∴ EF=BF.∴ △DEF≌△GBF . ………3分
∴ DE=GB,DF=GF.
又∵ AD=DE,AC=BC,∴ DC=GC.
∵ ,∴ DF = CF, DF⊥CF. ………5分
（3） 线段C F的长为. …………7分
25．解：（1）抛物线与y轴交于点C（0 , 4），
∴ ∴ ………1分
（2）抛物线的解析式为 .
可求抛物线与x轴的交点A（-1，0），B（4，0）.
可求点E的坐标.
由图知，点F在x轴下方的直线AD上时，是钝角三角形，不可能与相似，所以点F一定在x轴上方.
此时与有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：
① 当时，由于E为AB的中点，此时D为AF的中点，
可求 F点坐标为（1，4）. ………3分
② 当时，.
过F点作FH⊥x轴，垂足为H.
可求 F的坐标为. ……………4分

（3）
（4）
(3) 在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G .
由题意，可知△OBC为等腰直角三角形，直线BC为
可求与直线BC平行且的距离为的直线为 y=-x+9或y=-x-1.……6分
∴ 点G在直线y=-x+9或y=-x-1上.
∵ 抛物线的对称轴是直线,
∴ 解得 或 解得
∴ 点G的坐标为. ………8分

北京中考一对一 393002000@