七年级数学几何题标准格式.doc

证明的认识

1．已知：△ABC．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明： 如图27.1.3，延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．因为
BE∥AC （画图），
所以　　　∠A＝∠1　（两直线平行，同位角相等），
∠C＝∠2　（两直线平行，内错角相等），
又因为　　　　　∠1＋∠2＋∠ABC＝180°　（平角的定义），
所以　　　　　　∠A＋∠ABC＋∠C＝180°　（等量代换）．
2.　求证： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

已知： 如图27.1.4，∠CBD是△ABC的一个外角．
求证： ∠CBD＝∠A＋∠C．
证明： 因为
∠A＋∠ABC＋∠C＝180°　（三角形的内角和等于180°），
所以 　　　　∠A＋∠C＝180°－∠ABC　（等式的性质）．
又因为 　　∠ABC＋∠CBD＝180°　（平角的定义），
所以 　　　　∠CBD＝180°－∠ABC　（等式的性质）．
因此 　　　∠CBD＝∠A＋∠C　（等量代换）．
由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理．

3.已知： 如图27.2.2，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠ACB＝∠AˊCˊBˊ＝90°，
AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ．
求证： △ABC≌△AˊBˊCˊ．
证明　如图27.2.2那样，把△ABC和△AˊBˊCˊ拼在一起．因为
∠AˊCˊBˊ＝∠ACB＝90°（已知），
所以　　　　　　∠BˊCˊ B＝180°（等式的性质），
即点Bˊ、Cˊ、B在同一条直线上．
在△AˊBˊB中，因为
AˊBˊ＝AB＝AˊB（已知），
所以　　　　　　　　∠B＝∠Bˊ（等边对等角）．
在△ABC和△AˊBˊCˊ中，因为
∠ACB＝∠AˊCˊBˊ（已知），
∠B＝∠Bˊ（已证），
AB＝AˊBˊ（已知），
所以　　　　　　　　△ABC≌△AˊBˊCˊ（A.A.S.）．
与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法证明PD＝PE．

4.已知： 如图27.2.3，OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．
求证： PD＝PE．
分析　图中有两个直角三角形△PDO与△PEO，容易看出满足（A.A.S.）定理的条件．
证明　因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
所以　　　　　∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
在△PDO和△PEO中，因为
∠DOP＝∠EOP（已知），
∠PDO＝∠PEO（已证），
PO＝PO（公共边），
所以　　　　　　　　　　△PDO≌△PEO（A.A.S）．
因此　　　　　PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．

5.已知：如图27.2.4，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．

分析　为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以画射线OQ，利用（H.L.）定理证明△QOD≌△QOE，从而得到∠AOQ＝∠BOQ．

6.已知： MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．
求证： PA＝PB．
证明　因为　MN⊥AB（已知），
所以　　　　　∠PCA＝∠PCB＝90°（垂直的定义）．
在△PCA和△PCB中，因为
AC＝BC（已知），
∠PCA＝∠PCB（已证），
PC＝PC（公共边），
所以　　　　　　　　　　△PCA≌△PCB（S.A.S）．
因此　　PA＝PB（全等三角形的对应边相等）．

平行四边形判定定理1　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
7.已知：四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析　要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条对角线，然后证明内错角相等．

　　证明　如图27.3.1，连结AC．因为
AB∥CD，
所以　　　　∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）．
在△ABC和△CDA中，因为
AB＝CD，
∠BAC＝∠DCA，
AC＝CA，
所以 　　　　　　　　△ABC≌△CDA（S.A.S.）．
因此　　　∠BCA＝∠DAC（全等三角形的对应角相等），
BC∥DA（内错角相等，两直线平行）．所以四边形ABCD是平行四边形．
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