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竞赛讲座21
－应用题选讲

 应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力.
列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，从中体现解应用题的技能和技巧.
1.合理选择未知元
例1  （1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时，求A、B两地相距多少千米？
解法1  （选间接元）设坡路长x千米，则下坡需
依题意列方程：

解之，得x=3.

答：A、B两地相距9千米.
解法2（选直接元辅以间接元）设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米，则有如下方程组

解法3（选间接元）设下坡需x小时，上坡需y小时，依题意列方程组：

例2  （1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？
解  本题若用直接元x列方程十分不易，可引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式，可得：
M（1+0.01x）=0.92M[1+0.01（x+10）].
约去M，得
1+0.01x=0.92[1+01.1（x+10）].
解之，得   x=15.
例3  在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？
分析  选直接元，设两针在3点x分钟时重合，则这时分针旋转了x分格，时针旋转了（x-15）分析，因为分针旋转的速度是每分钟1分格，旋转x分格需要分钟，时针旋转的速度是每分钟分格，旋转（x-15）分格要
例4（1985年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？
解  采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2，则切下的两块中分别含铜xq1千克和xq2千克，混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克，依题意，有：

2.多元方程和多元方程组
例5 （1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？
解  设A、B、C三人原来各有x、y、z粒豆，可列出下表：

则有：
解得：x=104，y=56，z=32.
答：原来A有豆104粒，B有56粒，C有32粒.
例6（1985年宁波市初中数学竞赛题）某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验员检验的速度也一样快，A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品（所有成品指原有的和后来生产的成品）检验完毕后，再去检验另两个车间的所有成品，又用了三天检验完毕，在此五天内，B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品，问B组有几个检验员？
解  设每个车间原有成品x个，每天每个车间能生产y个成品；则一个车间生产两天的所有成品为（x+2y）个，一个车间生产5天的所有成品为(x+5y)个，由于A组的8个检验员每天的检验速度相等，可得

解得：x=4y
一个检验员一天的检验速度为：

又因为B组所检验的是5个车间，这5个车间生产5天的所有成品为5(x+5y)个，而这5(x+5y)个成立要B组的人检验5天，所以B组的人一天能检验(x+5y)个.
因为所有检验员的检验速度都相等，所以，(x+5y)个成品所需的检验员为：
（人）.
答：B组有12个检验员.
3.关于不等式及不定方程的整数解
例7（1985年武汉市初一数学竞赛题）把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，求猴子的只数和花生的颗数.
解：设有x只猴子和y颗花生，则：
                      y-3x=8,            ①
                      5x-y＜5，          ②
   由①得：y=8+3x,                       ③
③代入②得5x-(8+3x)＜5,
∴               x＜6.5
因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11.
经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意.
答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.
例8（1986年上海初中数学竞赛题）在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多（中箭的环数是不超过10的自然数），则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少？

解  设小王和小张三次中靶的环数分别是x、y、z和a、b、c,不妨设x≤y≤z，a≤b≤c，由题意，有：
因为环数为不超过10的自然数，首先有z≠10，否则与①式矛盾.
若设z=9,则由①知：xy=4,
∴x=2,y=2,或x=1,y=4,
∴x+y+z=13或x+y+z=14.
又由②及c＜z知，c|36，∴c=6，这时，ab=6.
∴a=2，b=3，或a=1，b=6
∴a+b+c=11或a+b+c=13
又由③知：x+y+z=a+b+c=13
∴取x=2，y=2，z=9.
答：小王的环数分别为2环，2环，9环.
例9（1980年苏联全俄第6届中学生物理数学竞赛题）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？
解  设起初有汽车k辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘的旅客为n名，显然，k≥2，n≤32，由题意，知：22k+1=n(k-1)，

∴k-1=1，或k-1=23,
即k=2，或k=24.
当k=2时，n=45不合题意，
当k=24时,n=23合题意，
这时旅客人数为n(k-1)=529.
答：起初有24辆汽车，有529名旅客
4.应用题中的推理问题
竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现，而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力，还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维.
例10（1986年加拿大数学竞赛题）有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A、B、C参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3为正整数且p1＞p2＞p3，最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一，求M的值，并问在跳高中谁取得第二名？
分析  考虑三个得的总分，有方程：
M(p1+p2+p3)=22+9+9=40,           ①
又        p1+p2+p3≥1+2+3=6，    ②
∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，从而M≤6.
由题设知至少有百米和跳高两个项目，从而M≥2，
又M|40，所以M可取2、4、5.
考虑M=2，则只有跳高和百米，而B百米第一，但总分仅9分，故必有：9≥p1+p3,∴≤8，这样A不可能得22分.
若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那么四项最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6.
∵4（p1+p2+p3）=40,∴p2+p3=4.
故有：p2=3,p3=1,A最多得三个第一，一个第二，一共得分3×6+3=21＜22，矛盾.
若M=5，这时由5(p1+p2+p3)=40，得：
p1+p2+p3=8.若p3≥2，则：
p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.
又p1必须大于或等于5,否则,A五次最高只能得20分,与题设矛盾,所以p1≥5.
若p1≥6，则p2+p3≤2，这也与题设矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.
A=22=4×5+2.
故A得了四个第一，一个第二；
B=9=5+4×1，
故B得了一个第一，四个第三；
C=9=4×2+1，
故C得了四个第二，一个第三.

练 习五
1.选择题
（1）打开A、B、C每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽.当所有三个阀门都打开时，注满水槽需1小时；只打开A、C两个阀门，需要1.5小时；如果只打开B、C两个阀门，需要2小时，若只打开A、B两个阀门时，注满水槽所需的小时数是（  ）.
（A）1.1 （B）1.1５  （C）1.2   （D）1.25      (E)1.75
（2）两个孩子在圆形跑道上从同一点A出发，按相反方向运动，他们的速度是每秒5英尺和每秒9英尺，如果他们同时出发并当他们在A点第一次再相遇的时候结束，那么他们从出发到结束之间相遇的次数是（  ）.
（A）13    （B）25     （C）44      （D）无穷多      （E）这些都不是
（3）某超级市场有128箱苹果，每箱至少120只，至多144只，装苹果只数相同的箱子称为一组，问其中最大一组的箱子的个数n，最小是（  ）
（A）4      （B）5     （C）6     （D）24      （E）25
（4）两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是p:1，而在另一个瓶子中是q:1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（  ）.

（5）汽车A和B行驶同样的距离，汽车A以每小时u千米行驶距离的一半并以每小时υ千米行驶另一半，汽车B以每小时u千米行驶所行时间的一半并以每小时υ千米行驶另一半，汽车A的平均速度是每小时x千米，汽车B的平均速度是每小时y千米，那么我们总有（  ）
（A）x≤y         (B)x≥y       (C)x＝y        (D)x＜y      (E)x＞y
2.填空题
（1）已知闹钟每小时慢4分钟，且在3点半时对准，现在正确时间是12点，则过正确时间______分钟，闹钟才指到12点上.
（2）若b个人c天砌f块砖，则c个人用相同的速度砌b块砖需要的天数是____.
（3）某人上下班可乘火车或汽车，若他早晨上班乘火车则下午回家乘汽车；又假若他下午回家乘火车则早晨上班乘汽车，在x天中这个人乘火车9次，早晨乘汽车8次，下午乘汽车15次，则x=_______.
（4）一个年龄在13至19岁之间的孩子把他自己的年龄写在他父亲年龄的后面，从这个新的四位数中减去他们年龄差的绝对值得到4289，他们年龄的和为______.
（5）一个城镇的人口增加了1200人，然后这新的人口又减少了11%，现在镇上的人数比增加1200人以前还少32人，则原有人口为_____人.
3.（1982-1983年福建省初中数学竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字小于其余各位数字，而第二位数字大于其余各位数字，第三位数字等于首末两位数字之和的二倍，求此四位数.
4.（第2届《祖冲之杯》）甲乙两人合养了几头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该分给乙多少钱？
5.（1986年湖北省荆州地区初中数学竞赛题）完成同一工作，A独做所需时间为B与C共同工作所需时间的m倍，B独做所需时间为A与C共同工作所需时间的n倍，C独做所需时间为A与B共同工作所需时间的x倍，用m，n表示出x来.
6.（1988年江苏省初中数学竞赛题）今有一个三位数，其各位数字不尽相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必可得一个最大数和一个最小数（例如，427，经重新排列得最大数742，最小数247），如果所得最大数与最小数之差就是原来的那个三位数，试求这个三位数.
7.（1978年四川省数学竞赛题）某煤矿某一年产煤总量中，除每年以一定数量的煤作为民用、出口等非工业用途外，其余留作工业用煤，按照该年度某一工业城市的工业用煤总量为标准计算，可供这样的三个工业城市用六年，四个这样的城市用五年（当然每年都要除去非工业用煤的那一个定量），问如果只供一个城市的工业用煤，可以用多少年？

练习五
１．Ａ．Ｃ．Ｅ．Ａ．
２．①   ②     ③１６  ④５９岁    ⑤１０００
３．设从首位起，各位数字顺次为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，则ａ＜ｂ，ａ＜ｃ，ａ＜ｄ，且ｃ＜ｄ，ｄ＜ｂ．又ｃ＝２（ａ＋ｄ）．且２≤ｃ≤８，故２≤２（ａ＋ｄ）≤８．∵ｄ为奇数，ａ≠０，∵ａ＝１，ｄ＝３．这时ｃ＝２（ａ＋ｄ）＝８，ｂ＝９．
４．略．
５．设Ａ、Ｂ、Ｃ单独完成同一工作所需时间分别为ａ、ｂ、ｃ，则单位时间他们可分别完成全部工作的、、，依题意
有：
由上面三式，可得：
６．设三位数为，重排后最大数为则最小数为于是有由于Ｃ＜Ａ，由上式有１０＋Ｃ－Ａ＝ｚ，１０＋（Ｂ－１）－Ｂ＝ｙ，（Ａ－１）－Ｃ＝ｘ．可求得ｙ＝９，ｘ＝４，ｚ＝５．
７．设该煤矿该年度产煤总量为ｘ，每年非工业用煤量为ｙ，该工业城市该年工业用煤量为ｚ，并设只供这样一个城市工业用煤可用ｐ年，由题意得方程组：
　　　　①　②　③
由①与②得ｙ＝２ｚ．　　　　　　　④
从①、③、④三式中消去ｘ、ｙ、ｚ，得