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1.2.2 空间中的平行关系(三)
一、基础过关
1． 给出下列结论，正确的有 ( )
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2． 若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是 ( )
A．12 B．8 C．6 D．5
3． 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截
面是 ( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
4． α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是
( )
A．α，β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
5． 过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
6． 有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.
其中正确的有________．(填序号)
7． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、
CD、A1B1、C1D1的中点．
求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
8． 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥
平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
二、能力提升
9． 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α
分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，
则S△A′B′C′∶S△ABC等于 ( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
10．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是 ( )
①⇒a∥b; ②⇒a∥b；
③⇒α∥β； ④⇒α∥β；
⑤⇒α∥a; ⑥⇒a∥α.
A．④⑥ B．②③⑥
C．②③⑤⑥ D．②③
11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、
CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
12．如图，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、
B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：
(1)E、F、D、B四点共面；
(2)平面AMN∥平面EFDB.
三、探究与拓展
13．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E
在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使
BF∥平面AEC？并证明你的结论．
答案
1．B 2.D 3.A 4.D
5．平行
6．③
7．证明 ∵E、E1分别是AB、A1B1的中点，
∴A1E1∥BE且A1E1＝BE.
∴四边形A1EBE1为平行四边形．
∴A1E∥BE1.
∵A1E⊄平面BCF1E1，
BE1⊂平面BCF1E1.
∴A1E∥平面BCF1E1.
同理A1D1∥平面BCF1E1，
A1E∩A1D1＝A1，
∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
8．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
9．B 10．C
11．M∈线段FH
12．证明 (1)∵E、F是B1C1、C1D1的中点，
∴EF綊B1D1，
∵DD1綊BB1，
∴四边形D1B1BD是矩形，
∴D1B1∥BD.
∴EF∥BD，
即EF、BD确定一个平面，
故E、F、D、B四点共面．
(2)∵M、N是A1B1、A1D1的中点，
∴MN∥D1B1∥EF.
又MN⊄平面EFDB，EF⊂平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连接NE，则NE綊A1B1綊AB.
∴四边形NEBA是平行四边形．
∴AN∥BE.又AN⊄平面EFDB，BE⊂平面EFDB.
∴AN∥平面BEFD.
∵AN、MN都在平面AMN内，且AN∩MN＝N，
∴平面AMN∥平面EFDB.
13．解 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE， ①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则
O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，
∴BF∥平面AEC.
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