高三理科数学002.doc

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期数： 0509 SXG3 002
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇
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[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇二 离散型随机变量的期望和方差

【教材阅读提示】
1．随机变量的期望是随机变量的重要特征数，是对随机变量的一种简明的描述，它反映了随机变量取值的平均水平. 它主要有以下两个性质：（1）；（2）若～B(n, p)，则.
2．随机变量的方差是随机变量的重要特征数，它反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 而标准差与随机变量有相同的单位，它也反映了随机变量取值时，以数学期望E为中心的分散程度，也具有广泛的应用.

【基础知识精讲】
一、知识结构

二、重要内容提示
1．期望
一般地，若离散型随机变量的概率分布为

…

…
P

…

…
则称为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2．期望的性质：若，a、b为常数，则
.特别是：（1）当时，E（b）=b，即常数的数学期望就是这个常数本身．
（2）当时，，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和．
（3）当时，，即随机变量与常数之积的期望等于的期望与这个常数的积．
3．常见离散型随机变量的期望
（1）单点分布：．
（2）两点分布：．
（3）二项分布：．
（4）几何分布：．
4．方差
如果离散型随机变量所有可能取的值是，且取这些值的概率分别是
，那么，把叫做随机变量的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期望. D的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散程度，其中标准差的单位与随机变量本身的单位相同.
5．方差的性质：， 其中a、b是常数；
.特别是：（1）当时，D（b）=0，即常数的方差等于0．
（2）当时，，即随机变量与常数之和的方差等于的方差．
（3）当时，，即随机变量与常数之积的方差等于的方差与这个常数的平方的乘积．
6．常见离散型随机变量的期望
（1）单点分布：．
（2）两点分布：．
（3）二项分布：若～B(n, p), 则，这里．
（4）几何分布：，这里．

【典型例题解析】
例1 的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．无法确定
分析：只要认识到是一个常数，则可以直接运用性质即可解决．
∵，而是常数．∴＝－＝0．答案：C
评注：利用随机变量的期望的性质是解决此类问题的关键，此处主要应用．
例2 一次数学同步测试由20个选择题构成，每个选择题有四个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，不作出选择或选错都得0分，每小题5分，满分100分. 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在答题时对每题都从4个选项中随机地选择一个. 求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的期望.
解：设学生甲和学生乙在这次数学同步测试中做对了的题的个数分别是和，则～B(20,0.9), ～B(20,0.25)，所以，.
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5和5，所以，他们在测验中的成绩的期望分别是，.
评注：通常情况下，在n次独立重复试验中某事件发生的次数服从二项分布，直接带入公式即可求得期望和方差．
例3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相同，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：

0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区：

0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
解：由已知，，
；

因为，所以两个保护区内每个季度发生的违规平均次数相同，但是乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动.
评注：比较两种情况，通常首先比较数学期望，期望反应了平均水平．如果期望相同，再比较方差，随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散程度．

【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．已知随机变量的分布列是

1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
则E等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现在有4颗子弹，命中后剩余子弹的数目的期望为（ ）
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
3．设随机变量的分布列为，则E的值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2
二、填空题
4．已知随机变量满足，设，则E=_______.
5．盒中装有大小相同的2个白球、3个黑球，从中任取3个球，则取到的白球数的期望等于________.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．设～B(n, p)，E=12，D= 4，则n和p分别等于（ ）
A．18和 B．16和
C．20和 D．15和
2．下面关于离散型随机变量的期望与方差的叙述错误的是（ ）
A．期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值的集中与离散的程度
B．离散型随机变量的期望与方差都是一个数值，它们不随试验结果而变化
C．离散型随机变量的数学期望是区间[0,1]上的一个数
D．离散型随机变量的方差是非负数
3．设的分布列为

1
2
3
4
P

又设，则D等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．每个人的体重是一个随机变量，且E= a,10个人的平均体重也是一个随机变量，则E=______.
5．已知随机变量的分布列为

0
1
x
P

p

且E=1.1，则D=_______.
三、解答题
6．已知随机变量的分布列为，其中k=1,2,3.求常数m的值及E.
7．设随机变量的概率分布如下：

1
2
3
4
P

求：（1）； （2）；
（3）； （4）.
参考答案
同步落实[※级]
一、选择题
1．D 2．C 3．A
二、填空题
4．3p－2 5．1.2
同步检测[※※级]
一、选择题
1．A 2．C 3．D
二、填空题
4．a 5．0.49
三、解答题
6．解：由随机变量的分布列的性质可得
，
∴,
∴.
7．解：；

∴