第20讲高等数学(二十)(2010新版).doc

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线性微分方程解的性质及解的结构定理
设有二阶齐次线性方程

则有

例题
写出该方程的通解

二阶常系数线性齐次方程
二阶常系数线性齐次方程的一般形式是

称为微分方程的特征方程，特征方程的根称为特征根。
按特征根的情况，可直接写出方程的通解如下：

例题1．

例题2．

线性代数

一、n 阶行列式
（一）n阶行列式的定义
设有n2个数aij（ i = 1 , 2 ， … ，n ；j＝ 1 , 2 ,… ，n），记号

称为n阶行列式。行列式（ 1-8-1 ）也简记作 Dn或△（aij）

Mij称为 Dn的对应于元素 aij 的余子式。令

Aij称为 Dn的对应于元素 aij 的代数余子式。
每个n阶行列式都对应一个数，这个数称为该行列式的值。
记号（ 1-8-1 ）既表示行列式，又表示行列式的值。
行列式的值用数学归纳法定义为

按此定义．即有
1 阶行列式

2 阶行列式

3 阶行列式

计算 2 阶和 3 阶行列式的值时，有“对角线法则” :
2 阶行列式时，

即把 a11 一 a 22的连线称主对角线， a12 一 a21 的连线称次对角线。主对角线上各元素的乘积冠， “ + ”号，次对角线上各元素的乘积冠“一”号，然后作代数和，所得结果即为 2 阶行列式的值。
3 阶行列式时，

主对角线上各元素的乘积冠， “ + ”号，次对角线上各元素的乘积冠“一”号，然后作代数和，所得结果即为3阶行列式的值。

（二）行列式的性质

2 ．互换行列式中的两行（列），则行列式的值变号。
3 ．行列式中如果有两行（列）的元素相同，则行列式的值为 0。
4 ．以数 k 乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于 k 乘这个行列式。
5 . 行列式中如果有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为 0。
6 ．如果行列式中某行（列）的元素都表为两数之和，例如第 k 行的元素都是两数之和：

则 D 等于下列两个行列式之和：

7 ．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。例如以数 k 乘第 i 行加到第 j 行上，有

8 ．行列式中任一行（列）的元素与它对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。

式（ 1-82 ）称为行列式按第 i 行展开公式和按第 j 列展开公式。
9 ．行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0。即

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