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[初中数学论文]
关于一类动点最值问题的探讨

随着新课标的全面实施，人人学有价值的数学已深入人心。近几年来，动点最值问题频频出现在各地中考、竞赛试卷中。这类试题突出了对学生基本数学素质的测试，加强了探究和创新意识，培养了学生灵活运用知识解决实际问题能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨。
一、题中出现一个动点。
1．知L为一条公路，A、B为公路两旁的两个村庄，现在公路上建一家商店，问建在何处时商店到两村庄到商店距离和最小？
分析：作B关于L的对称点B’，
有MB=MB，于是MA+MB=MA+MB’≥AB
(当且仅当从运动到AB’和L的交点M’
时等号成立)，建在M’点符合条件。
2．如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。
分折：作D关于OC的对称点D’，
于是有PA+PD’≥AD’,（当且仅当P
运动到Po处，等号成立，易求AD’=。
3．在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。（2006全国初中数学竞赛浙江决赛）
分析：作E关于BD对称点E’，E’在AB上，
有PE+PC=PE’+PC≥E’C易求E’C=26。
4．如图，正方形ABCD边长为16，P、Q分别是BC、CD上的定点，且BP=3 ,DQ=1,E为对角线上一动点，求EP+EQ最小值。
分析：作Q关于BD对称点Q’
EP+EQ=EP+EQ'≥PQ’过 Q’作Q’M ⊥BC ,易求
5．正三角形ABC边长为a，D为BC的中点，P是AC边是的动点，连结PB，PD得到△PBD求：
（1）当点P 运动到AC的中点时，△PBD的周长。
（2）△PBD的周长的最小值。（第十六届“希望杯”全国数学邀请赛，初二）
分折：（1）易求△PBD周长为
(2)作B关于AC所在直线的对称点B’,
易求△PBD周长的最小值为
6 .L为直线，当A、B在L异侧（且A、B到L距离不相等），求 |MA-MB|最大值。
分析： 做B关于L对称点B’.
∣MA-MB∣=∣MB’-MA∣≤AB’（当且
仅当M运动到AB’和L交点时MO时等号成立）
7.如图,两点A,B在直线L的同侧,A到L距离为AC=8,B到L的距离为BD=5,CD=4,点P在直线L上运动.则∣PA-PB∣最大值为____.(第十届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 )
分折:∣PA-PB∣≤AB,(当P运动到
AB延长线和L交点时PO等号成立),过
B作BE⊥AC于E,易得.
小结:上述几题中,只出现一个动点,当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.
二、题中出现两个动点。
8．在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 (2002年湖北选拔赛)
分折:因AB长为定值,四边形周长
最短时有BC+CD+DA最短,作B关于y
轴对称点B’,A关于x轴对称点A’,
DA+DC+BC=DA’+DC+B’C≥B’A’(当D,C运动到AB和x轴y轴的交点时等号成立),易求直线A’B’解折式y= +,C0(0,),D0(-,0),此时=-
9．知和y轴交于点A(0,,3),和x轴交于B(1,0),C(5,0),求(1):此抛物线的解折式,(2)若一动点P自OA中点M出发,先到x轴上某点,设为E,再到抛物线对称轴上某点F,最后运动到A,求使P点运动总路程最短的点E和点F坐标,并求最短路径长(2006年北京中考)。
分折：易求（1）
（2）当P经过路线长最短时，P必走直线，即ME+EF+FA最短，作A关于x=3对称点A’(6,3)，M关于x轴的对称点M’(0.-3/2)于是有ME+EF+FA=ME+EF+FA≥A’M’（当且仅当EF运动到E0F0时等号成立），易求直线A’M’解折式为，E0(),F0()于是，由勾股定理求得：
10．如图：在△ABC中,∠A=,MN分别AB,AC上动点,求BN+MN+MC最小值(2003年余姚中学保送生测试)
分折:作B关于AC对称点B’,C关于
AB对称点C’,有BN+MN+NC=B’N+MN+MC’≥B’C’(当M,N运动到M0,N0时等号成立),因∠A=,那么∠C’AB=∠A=∠B’AC,所以∠C’AB’=, AC’=AB’=AB=AC=20,所以△AC’B’为正三角形,所以B’C’=20.
小结：综上可知,当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值!
三、题中出现三个动点时。
11．如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值
分折:作E关于AC所直线的对称点E’,于是有,PE+PF=PF+PE’≥E’F,又因为E在AB上运动,故当EF和AD,BC垂直时，E0F最短,易求E0F=。
12．如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。
分折：作P关于OA，OB对称点P1，P2 。
于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，
由对称性易知△P1OP2为等腰
RT△,OP=OP1=OP2=10,P1P2=
13．如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值.
分折:作B关于AC的对称点B’,于是BM+MN=B’M+MN≥B’N,由于N在AB上运动,当N运动到N0时,B’N0⊥AB, B’N最短为B’N0,易求BH=,BB’=，由△B’N0B∽△ABC,求得B’N0=16.
小结：当题中出现三个动点时,在求解时应注意两点,(1),作定点关于动点所在直线的对称点,(2):同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.
四、动点最值在求代数最值问题中的应用。
14．求代数式最小值(第十三届希望杯数学邀请赛.初二)
分折:如图作BC=12,AB⊥BC,CD⊥BC,
AB=2,CD=3,E为BC上一点,求EA+ED最小值，设BE=X,CE=12-X,EA+ED=
作点D关于BC所在直线的对称点D’,于是,EA+ED=EA+ED’≥AD’,易求AD’=13.
15． 求函数y=最小值。
分折：

即本题为求x轴上点到（-1，2）和（2，1）这两点距离和最小值，作B关于x轴的对称点B’,易求y最小=AB’=
小结：在这类代数最值问题中，我们应用数形结合的思想，将其转化为几何中动点最值问题，是解决问题的关键。
总之:在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
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