数学解题真经(九)熟悉性原则.doc

熟悉性原则---杨飞
在加工处理信息的过程中，利用我们的认知经验对问题信息的表述形式或内容进行处理，转化为我们认知结构中熟悉的信息材料，这种处理信息的原则就是熟悉性原则。
由于每一个解题者的知识结构各不相同，各自有独立的熟悉结构。而问题呈现的信息又是纷繁复杂的，即使具有相同形式和内容某一信息也不可能适合于每一个解题者的认知结构。在解题时，我们必须对问题信息进行加工处理，化陌生为熟悉，寻找问题信息与自己的熟悉结构间的联系。熟悉化的新信息更适合个人的认知活动的心理欲求，使神经系统的工作积极主动而且方向准确，有利于新信息与认知结构的正确链接。
例1 设对一切实数x ，不等式＞0恒成立，求实数a的取值范围.
解 令，则。
所以原不等式化为＞0 ①
由于对于一切实数x，不等式①恒成立. 又当，对不恒成立.
则 t＞0
所以＞0
上述解答过程中，用换元法将原不等式化为不等式①，问题的实质没有改变。只是把问题的信息通过形变化归后，在形式上转化为我们熟悉的二次不等式恒成立的问题。
例2 （1994年澳大利亚竞赛题）设
且对所有自然数k，均有 ①； ②.
求证：对每个给定的正数q，总能找到自然数N，使得时，总有.
证明 因①对所有自然数k，均有.
代入②得
所以为等差数列，公差为.
于是.
. 则是递增无上界数列，从而得证.
上述解答将信息①形变化归后再与信息②综合加工，就得到了“为等差数列”这一结论，的确巧妙。 怎么会想到这一系列加工信息的方法呢？因为“双重递推数列问题，用消元法可化为线性递推数列求解”已扎根于熟悉结构之中，我们将信息①化为
是为了寻找奇数项与偶数项的关系，然后再与信息②综合，消去奇数项就可找到偶数项的递推关系，即使得不到“为等差数列”，也一定会产生其它类似结果。（此题求通项可用先猜后证法）
例3 第39届IMO预选题：已知x、y、z，且.
求证：
此赛题的证法很多，“一道IMO预賽题的推广”（中等数学，2001（2））曾对此给以推广，南开中学赵毅同学发现其结论有误，给出了新的推广：
设，且，
则
.
证明 令，则.

左边=

令显然在恒正且递增.
所以.
2001年暑假，笔者在课堂上，突发灵感，巧用“等号条件成立法”得到新证：
因
.
其中（），显然，p＜1，则.
原不等式左边
不等式左边
。
赵毅同学不迷信权威，大胆辟谬，结论之妙，推证之奇。是因为他长期坚持竞赛学习，熟悉结构中储备了各种解决不等式的的策略；笔者能够在课堂上突发灵感，也是因为擅长“等号条件成立法”之所致。上述一系列加工信息的形变化归手段，正是熟悉性原则的体现，至于质疑并产生奇思妙想，此乃情理之中，我们惊奇但不惊诧。

化归思想▬▬▬▬综合性原则
在加工处理信息的过程中，利用个人的认知经验对问题的某项信息进行挖掘或对多项信息进行综合加工，使信息得到优化、更新和拓展，这种处理问题信息的原则，我们称为综合性原则.
综合性原则在加工处理信息的过程中，主要表现为挖掘更新式综合和桥式综合.
例1 已知（为锐角），求证：.
该问题的信息有：①（一个关于与的关系式）；②为锐角；③求证：（一个关于与的关系式）.
对信息①②进行挖掘综合；
1．形变化归信息①：

再与信息②进行综合加工：由.
（1）
2．形变化归信息①：
再与信息②综合：由， （2）
3．形变化归信息①：

（3）
4．由信息①②直接综合：由
（4）
对信息③进行挖掘综合：由
（5）
通过对信息①②③进行综合加工处理后，我们得到许多新信息，再将这些新信息综合加工，由（1）、（5）结合或（2）、（5）结合或（3）、（4）结合都能很快找到解题方案。其实，这种挖掘更新式综合，并不是对信息的简单繁殖，每一次挖掘，都是认知结构与信息相互作用的结果。大脑在挖掘信息信息的同时，又在对新信息作进行有效组织、编排和链接。
例2 在数列{}中，已知，当时，，
求证： .
通过我们的熟悉结构，很容易想到数学归纳法.
证明 ⒈ 当、2时，命题显然成立.
2．假设当时，成立，那么当时，
。 ①
应当如何运用归纳假设来证明成立呢？综合归纳假设与①式两项信息可知，应当通过的范围来确定. 于是再回想我们的熟练结构，自然会想到：①式可以看作自变量的一个函数───
，只要这个函数的值域是集合的一个子集即可.
如何求的值域呢？这又离不开我们的认知结构───求值域的方法.
下面我们利用的单调性来求其值域.
在上递增，（这是中学熟知的结论）

所以当时命题成立.
由1、2可知，原命题成立.
此题证明的关键在于：将运用归纳假设证明“当时命题成立”转化为“求函数在上的值域问题”，又由“函数的值域问题”联想到“函数的单调性”。 由此，我们可以清楚地看到：“判定在上单调性”对“求函数的值域”起着牵线的作用，而“求函数的值域”对“证明不等式”也起着搭桥的作用。 可谓桥连桥，思路通，越障碍，笑成功。我们称此为桥式综合。