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[初中数学论文]
对一道中考试题的改进与分析

对很多的初三学生和数学老师来说，2005年天津市高级中等学校招生考试数学试卷的第18题是一个刻骨铭心的题目．笔者初次接触这个题目已经是在2006年的4月初了，虽然迟了些，但还是有几句话想说。
一、问题的初步分析
我们先来看一下这个题目以及命题者提供的参考答案及说明。
例1如图1，已知五边形中，∥，∠＝∠
＝90°，则可以将该五边形分成面积相等的两部分的
直线有__________条，满足条件的直线可以这样确定：

图1
参考答案及说明：无数．例如，过点作与平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分；设该直线与边、的交点分别为、，线段的中点为，则经过点且与边、相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分。
从题目的意思来看，第二格不应该是个开放性问题．但从参考答案及说明来看，“例如，过点作与平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分”部分只是提供了一种情况；而“设该直线与边、的交点分别为、，线段的中点为，则经过点且与边、相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分”部分虽然提供了无数种情况，但是终究没有概括出所有可能出现的情形．从这个意义上来说，这个题目似乎又是个开放性问题．也就是说题意与参考答案之间是不一致的。这个可以算作是命题者在命题过程中的一个小小的失误吧。然而，正是这个小小的失误给很多老师带来非常大的麻烦。
那么现在是修改题目呢，还是修改参考答案及说明呢？由于把所有可能出现的情形概括出来，是件非常复杂的事情（详见本文第三部分）．所以这个题目是不宜设计成封闭性问题的，而应该把它设计成开放性问题．笔者这里对“满足条件的直线可以这样确定”一段文字提出两种修改方案：若题目难度低些的话，则可以修改成“满足条件的其中一条直线可以这样确定”；若题目难度高些的话，则可以修改成“你这样认为的理由是”。
若想做为一个封闭性问题来处理的话，则修改成“所有满足条件的直线可以这样确定”时题意将更明确．自然对学生来说，此时题目的难度是极大的．但另一方面，这也是广大读者比较感兴趣的一个问题．正因为如此，笔者想借用贵刊的一角来介绍自己的一些探究结果，以供读者参考．在全面分析这个问题之前，我们还是先来看几个其它的平分图形面积的例子。
二、相关问题的介绍
对大多教师而言，直接探究例1是一件比较费劲的事．先熟悉类似问题中比较基础的一些例子，可以启示大家对这个问题进行深入的思考．平分组合（或不规则）图形面积问题，象03年江苏省宿迁市中考数学试题（类似例4），04年河北省（课改实验区）中考数学试题（类似例5）都曾出现过．从某种程度上讲，例1可以看成是它们的综合、拓展。
例2 如图2，已知四边形是平行四边形．连接、交于点，则过点的任一直线平分平行四边形的面积．反之，平分平行四边形的面积的直线必过点．具体的证明读者可以自己去完成。

图2 图3
例3 如图3，已知梯形中∥．取梯形中位线的中点，当过点的直线与线段、都相交时，被分得的两部分中位线（注：不一定是梯形中位线，也有可能是三角形或平行四边形的）和高线都相等，此时直线平分梯形的面积．是不是所有过点的直线都平分梯形的面积呢？回答是否定的，我们只要举一条与直线平行的直线即可，由于该直线截梯形所得的线段长大于即，所以该直线位于直线的下方，如图3所示，显然直线没有经过点。
例4现有如图4所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案。

图4 图5 图6 图7
说明三种比较简单的分法见图5—图7．这里的三种分法都是通过割或补，把组合图形转化为基本图形.这与例1参考答案所提供的思路完全一致。
例5是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图8）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由。
图8
图9
图10
图11

说明如图9，作任意方向的一条直线,显然图中情形时左边部分面积小于整个图形面积的一半；把直线向右平移至图10位置后，直线左边部分面积大于整个图形面积的一半；由于右移过程直线左边部分面积是连续性增加的，因此恰好有一个位置使得直线左边部分面积等于整个图形面积的一半，如图11所示，此时直线将整个图形面积平分。
需要指出的是例5中平分图形面积的直线有无数条，各个方向的直线都有，而且恰好各有一条。
三、问题的进一步分析
比较例2及例3，读者可能会关心这样一个问题：平分图形面积的直线，什么样的图形必过某一定点（例如平行四边形），什么样的图形不存在这样的定点（例如梯形）。其实这与图形是否是中心对称图形有关．下面只对凸多边形的情形进行证明。
例6如图12，设平分某个图形面积的直线都过定点.过点任作两条直线，它们截图形所得线段分别为、.设，则当时，区域Ⅰ面积，区域Ⅱ面积（注这里角度采用弧度制）.由于区域Ⅰ、Ⅱ面积相等，所以，于是有.这表明：过点的任意一条直线，它截图形所得线段的中点就是点。所以图形是中心对称图形，且对称中心是点。

Ⅱ

Ⅰ

图12 图13
从例5、例6这两个例子的比照中，我们可以对“例1”的问题得出这样的判断：满足条件的直线各个方向都是有的，而且每个方向正好只有一条；由于这个五边形不是中心对称图形，因此满足条件的所有直线不可能经过一个定点。
接下来我们对满足条件的所有直线给出具体的说明.
如图13，过点作与平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，作经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线.由于直线同时平分梯形、矩形的面积，所以它平分五边形的面积。
设直线与边、的交点分别为、，再设线段的中点为，则经过点且与边、都相交的任意一条直线也是平分五边形的面积．例如直线、都是平分五边形的面积的，这里以为例进行说明：
平分五边形面积。
现在我们设满足条件的直线与五边形交于、两点．显然、两点的轨迹会遍布整个五边形的边界．图13中表明：从到移动过程中，对应的是从到移动，此时的中点是点。
类似于图13，如图14，过点作与平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，作经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线平分五边形的面积.设直线截五边形所得线段的中点为，则过且与边、都相交的任意一条直线也是平分五边形的面积.也就是说从到移动过程中，对应的是从到移动，此时的中点是点。

图14 图15
如图15，当从到移动过程中，对应的是从到移动，且此时的点（与重合时除外）应满足∥，因此图中（相当于运动到，运动到的情形）就有∥。
如图16，当从到移动过程中，对应的是从到移动，且此时的点（与重合时除外）应满足∥，因此图中（相当于运动到，运动到的情形）就有∥。

图16 图17
如图17，当从到移动过程中，对应的是从到移动，且此时的点（与重合时除外）应满足∥，因此图中（相当于运动到，运动到的情形）就有∥（因画出来不够清楚，所以这里省略了）。
整个题目的思路可以归结为：先找出符合要求的一条直线，然后通过等积变形找到其它符合要求的直线．实际上图13、图14中的、两条直线是可以相互推出的。
从上面的分析过程中，我们不难看出：问题的结论是很难用文字来表达清楚。就算是作图，图15—图17的情形需要借助图13或图14才可以比较容易地画出来。