浅谈数学中的一种常用解题策略——转化.doc

浅谈数学中的一种常用解题策略转化福建安溪八中柯文胜“转化”是数学中最常用最基本的思维方式之一。转化就是在分析解决问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，把复杂、隐蔽的问题转化为简单、明显的问题。初中数学的转化方法多种多样，常用的有下列几种：一、高次(或多元)向低次(或低元)转化；例1已知X22Xl0，则代数式X3X23X十2的值是(97年广东省初三数学竞赛第一道试题)(A)O(B)1(C)2(D)3分析：此题若通过已知X22X10解得X1土代入原式求出答案，显然运算量大。因此为了减少运算量，我们应将问题转化，经分析可知：X22X十1代人原式，从而达到降次的目的，最后得到正确答案(D)，由此可见，通过降次，可以将复杂问题转化为简单低次的问题，从而得到解决。分析：解多元方程组的思想方法是将多元方程组转化为低元方程组，最后转化为一次方程而求得，此题的解题思想方法如下所示：三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程二、特殊与一般的互相转化从特殊(一船)到一般(特殊)的思维方法是数学和其它科学领域中进行探索，发现真理知识的重要途径。例3圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。分析：考虑到圆周角与圆心角的一般关系，我们可以分为下列三种情况来证明。(1)如图1圆心在圆周角的一边上：易证得APB12AOB(2)如图2圆心在圆周角的内部：易证APBAPSBPS1/2AOS1/2BOS1/2AOS(3)如图3圆心在圆周角的外部：易得APBAPSBPSAOS1/2BOSJ1/2AOB综上所述，不论哪种情况，圆周角都等于它所对的弧所对的圆心角的一半，从而命题得证(详细过程参考几何第三册P9192)这是由特殊到一般的转化。例4如图4，已知定圆O1；与定圆02外切于P点，AB是过切点P的任一直线分别与01和02交于A、B求证：AP/BP是一个定值。则应先找出这个定值，而题中给出的条件中固定不变的只有两圆的半径(不防设为Rr)即要证AP/BP与R，r有关，由此启发我们过切点P作Ol与02的直径CD构成RtAPCRtBPD，得出AP/BPCP/DP=r/R：参由此可见，找出定值的进程就是由一船到特殊转化的过程。三、正面向反面的转化。很多数学的问题正面难于入手，但从问题的反面则易于解决，故此我们通常用正面向反面的转化方法去解决一些数学问题。例5若三个方程至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围。分析：条件“至少有一个方程有实数解”的情况十分复杂，如逐个方程讨论，势必造成运算过程繁琐，且容易出错。但若从这个问题的反面去思考，将问题转化为“三个方程都没有实数解”，则使问题变得单一、明白，由此可得综合得出a1时，三个方程都没有实数解，由此可知，当a或a1时，三个方程必定有一个方程有实数根。四、隐含向明朗转化。由于有些数学问题表面上没有任何突破口、入手之处，但只要我们认真分析找出题中隐蔽原条件，就会使问题迎刃而解。例6化简：(21)(221)(241)(2641)1(摘初一级第八届“希望杯”培训题)分析：此题初看起来难于动笔，查只要认真分析，观察一下题型结构，较快发现一个隐蔽条件：121，再利用平方差公式，很易使问题得到解决。解：原式(21)(21)(22十1)(264十1)十1(221)(22十1)(24十1)(264十1)十12128五、数与形的相互转化。例ABC的三边为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长(95年天津市，初三竞赛题)分析：这道题的常见解法是构造三角形法，依题目的已知条件，构造如图5设CAB2C，对应边分别为X1，X，X十1延长CA到D，使ADAB，连结BD，得到ADB。BDC，解得x5从而得出三角形三边之长六、综合(或复杂)向单一(或简单)的转化，是解综合题的常用思维方法之一。例8如图690n与02外切于点P，CD为两圆的外公切线，PT为两圆的内公切线，且O，与02的半径分别为9和4(1)求PT的长；(2)求Sin01的值；(3)证明PCPDPAPB；(95年广西壮族自治区升中试第31题)分析：这个综合(或复杂)题可以转化为三个单一(或简单)的基本问题是：1、在PCD中，若TCPrTD，点T在cD上cD12，求Pr的长；2、在直角梯形DC0102中，若O1C9，02D4，010213，求SinOl的值；3、若BCAD、CA与BD相交于点P，求证PCPDPAPB这样分为三个小题后，问题(1)，(2)易解决，而问题(3)只证得点C、O、B共线，点D、02、A共线，即可得CBDA，从而得出PC/PBPD/PA得出结论PCPAPDPB综上可知，转化的思想方法是解决数学问题的一种最常见最基础的思维方法，也是作为一名中学生(或中学教师)必须掌握并灵活运用的思维方法，而常见的六种转化，也是中学数学中最常用的转化手段。