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1. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值． （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
C
D
A
B
E
F
N
M
G
H
解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．
∵ AB∥CD， ∴ DG＝CH，DG∥CH．
∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．
∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，
∴ △AGD≌△BHC（HL）．
∴ AG＝BH＝＝3． ………2分
∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，
∴ DG＝4． ∴ ．
C
D
A
B
E
F
N
M
G
H
（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ ME＝NF，ME∥NF． ∴ 四边形MEFN为矩形．
∵ AB∥CD，AD＝BC， ∴ ∠A＝∠B．
∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，
∴ △MEA≌△NFB（AAS）．∴ AE＝BF．
设AE＝x，则EF＝7－2x．
∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，
∴ △MEA∽△DGA．∴ ．∴ ME＝．
∴ ．
当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．
（3）能． 由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．
若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． 即 7－2x．解，得 ．
∴ EF＝＜4．
∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为．
图①
B
A
Q
P
C
H
2. 已知：如图①，在RtΔABC中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0<t<2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设ΔAQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtΔABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把ΔPQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
解：（1）在Rt△ABC中，，由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，
若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，∴，∴，∴．
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH ∽△ABC，
∴，∴，∴，∴．
（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴，
解得：．
若PQ把△ABC面积平分，则， 即－＋3t=3．
∵ t=1代入上面方程不成立，
P ′
B
A
Q
P
C
图②
M
N
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴， ∴，
∴， ∴，
∴，解得：．
∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时，　，
在Rt△PMC中，， ∴菱形PQP ′ C边长为．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
解：（1），，，．点为中点，．
，．，
，．
（2），．，，
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
，，即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
，，
．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
，，
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．，
，．综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．

4. 如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

（1）解法一：如图25-1
过A作AE⊥CD，垂足为E .
依题意，DE=. …………………………2分
在Rt△ADE中，AD=. ………5分
图25-1
解法二：如图25-2
过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 . …2分
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分
（2）解：如图25-1
图25-2
∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：
S=PD·h
=(9－x)·x·sin60°=(9x－x2) =－(x－)2＋.
由题意，知0≤x≤5 .
当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=.
（3）证法一：如图25-3
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .
△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.
连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .
图25-3
易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=. ………………… 14分
[注] 本题仅回答存在，给1分.
证法二：如图25-4
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ∥BC .
又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD
图25-4
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－= ……………… 14分
[注] 本题仅回答存在，给1分.
5. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0<X<8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．⑴求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；⑵如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；⑶在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2于点E、F．①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜x＜６时，求线段EF长的最大值．
解：⑴∵，CD＝3，CQ＝x，
E

G

2 4 6 8 10
1210
8
6
4
2
y
O
x
F
∴．
图象如图所示．
⑵方法一：，CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴．
∵抛物线顶点坐标是（4，12），
∴．
解得． 则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ面积为12．
此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4．
∴由，得 ．解得．
则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是．
∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），
∴ 解得 ∴． ①
∵，CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴． ②
比较①②得.
则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
⑶①观察图象，知
线段的长EF＝y2－y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．
②由⑵得 .（方法二，）
∵EF＝y2－y1，
∴EF＝，
∵二次项系数小于０，
∴在范围，当时，最大．
6、如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=AC；(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
解：(1)（4，0），（0，3）； 2分
(2) 2，6； 4分
(3) 当0＜t≤4时，OM=t．
由△OMN∽△OAC，得，
∴ ON=，S=． 6分
当4＜t＜8时，
如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4．
方法一：
由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-． 7分
由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴ CN=t-4． 8分
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积
=12--（8-t）（6-）-
=． 10分
方法二：
易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t． 7分
由△BMN∽△BAC，可得BM==6-，∴ AM=． 8分
以下同方法一．
(4) 有最大值．
方法一：
当0＜t≤4时，
∵ 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，
∴ 当t=4时，S可取到最大值=6； 11分
当4＜t＜8时，
∵ 抛物线S=的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6．
综上，当t=4时，S有最大值6． 12分
方法二：
∵ S=
∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． 11分
显然，当t=4时，S有最大值6．