考点跟踪训练14二次函数及其图象.doc

考点跟踪训练14　二次函数及其图象

一、选择题
1．(2011·温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(　　)

A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
答案　C
解析　当0≤x≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.

2．(2011·烟台)如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(　　)

A．m＝n，k＞h
B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h
D．m＜n，k＝h
答案　A
解析　两条抛物线的顶点分别为(n，k)，(m，h)因为有相同的对称轴，且点(n，k)在点(m，h)上方，所以m＝n，k>h.

3．(2011·宿迁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是(　　)

A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
答案　D
解析　抛物线开口向下，a<0；对称轴是直线x＝1，当x≥1时，y随x的增大而减小；抛物线与y轴交点(0，c)在x轴上方，c>0；所以A、B、C为错误的，设方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，则x1＝－1，＝1，x2＝3,3是方程的一个根．
4．(2011·泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：

x
－7
－6
－5
－4
－3
－2
y
－27
－13
－3
3
5
3
则当x＝1时，y的值为
A．5 B．－3 C．－13 D．－27
答案　D
解析　观察上表，当x＝－4或－2时，y＝3，抛物线的对称轴为直线x＝＝－3.当x＝1时，＝－3，可知当x＝－7或1时，y＝－27.
5．(2010·天津)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：

①b2－4ac>0；
②abc>0；
③8a＋c>0；
④9a＋3b＋c<0.
其中，正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2－4ac>0，故①正确．抛物线开口向上，得a>0；又对称轴为直线x＝－＝1，b＝－2a<0.抛物线交y轴于负半轴，得c<0，所以abc>0，②正确．根据图象，可知当x＝－2时，y>0，即4a－2b＋c>0，把b＝－2a代入，得4a－2(－2a)＋c＝8a＋c>0，故③正确．当x＝－1时，y<0，所以x＝3时，也有y<0，即9a＋3b＋c<0，故④正确．
二、填空题
6．(2011·济宁)将二次函数y＝x2－4x＋5化成 y＝(x－h)2＋k的形式，则y＝________.
答案　y＝(x－2)2＋1
解析　y＝x2－4x＋5＝(x2－4x＋4)＋1＝(x－2)2＋1.

7．(2011·舟山)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______.

答案　x≥
解析　抛物线经过点(－1,0)，(1，－2)，得解之，得所以y＝x2－x－2，其对称轴直线x＝－＝，当x≥，y随x的增大而增大．

8．(2011·湖州)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间，你所确定的b的值是________．

答案　如－(答案不唯一)
解析　采用特殊值法，如设抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)，则得b＝－.
9．(2011·日照)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题 ：

①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；
④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号)
答案　①③
解析　抛物线过点(1,0)，则有a＋b＋c＝0；对称轴为直线x＝－1，则＝－1，另一交点为(－3,0)，①③正确；对称轴线x＝－＝－1，b＝2a；又a>0，c<0，则a－2b＋c＝a－4a＋c＝－3a＋c<0，所以②、④错误．
10．(2011·茂名)给出下列命题：
命题1：点(1,1)是双曲线y＝与抛物线y＝x2的一个交点．
命题2：点(1,2)是双曲线y＝与抛物线y＝2x2的一个交点．
命题3：点(1,3)是双曲线y＝与抛物线y＝3x2的一个交点．
……
请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)：________________________________.
答案　点(1，n)是双曲线y＝与抛物线y＝nx2的一个交点
解析　解方程组得所以点(1，n)是双曲线y＝与抛物线y＝nx2的一个交点．
三、解答题
11．(2011·东莞)已知抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由．
解　(1)∵抛物线与x轴没有交点，
则方程x2＋x＋c＝0中，△＜0，即1－2c＜0，
解得c＞.
(2)∵c＞>0，
∴直线y＝cx＋1随x的增大而增大．
∵b＝1，
∴直线y＝cx＋1经过第一、二、三象限．
12．(2011·南京)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
解　(1)当x＝0时，y＝1.
所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象经过y轴上的一个定点(0,1)．
(2)①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝(－6)2－4m＝0，m＝9.
综上，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.
13．(2011·江津)已知双曲线y＝与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3，n)三点．
(1)求双曲线与抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积．

解　(1)把点A(2,3)代入y＝得：k＝6.
∴反比例函数的解析式为：y＝.
把点B(m,2)、C(－3，n)分别代入y＝得： m＝3，n＝－2.
把A(2,3)、B(3,2)、C(－3，－2)分别代入y＝ax2＋bx＋c得：　解之得　
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋3.
(2)描点画图(如图)：

S△ABC＝(1＋6)×5－×1×1－×6×4＝－－12＝5.
14．(2011·黄冈)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－2＋＋160(万元)．
(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？
(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？
解　(1)当x＝60时，P最大值为41，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．
(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x＝50时，P最大值为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．
后三年：设每年获利为y，当地投资额为x，则外地投资额为100－x，所以y＝P＋Q
＝＋＝－x2＋60x＋165＝－2＋1065，表明x＝30时，y最大值为1065，那么三年获利最大为1065×3＝3495(万元)，
故五年获利最大值为80＋3495－50×2＝3475(万元)．
因此(3)有极大的实施价值．
15．(2011·杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1 (k为实数)．
(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；
(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
(3)对任意负实数k，当x<m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．
解　(1)当k＝1时，y＝x2＋3x＋1；当k＝0时，y＝x＋1，图略．
(2) 对任意实数k，函数的图象都经过点(－2，－1)和点(0,1)．
证明：把x＝－2代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y＝－1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象经过点(－2，－1)；把x＝0代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y＝1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象经过点(0,1)．
(3) 当k为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，其对称轴为x＝－＝－1－，当负数k所取的值非常小时，正数－靠近0，所以x＝－1－靠近－1，所以只要m的值不大于－1即可．