考点跟踪训练44分类讨论型问题.doc

考点跟踪训练44　分类讨论型问题
一、选择题
1．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是(　　)

A．(4,0) B．(1,0)
C．(－2 ，0) D．(2,0)
答案　B
解析　当P点坐标为(4,0)时，点A在OP的中垂线上，OA＝PA；当P点坐标为(－2 ，0)时，OP＝OA＝2 ；当P点坐标为(2,0)时，OP＝AP＝2，所以P点坐标不可能为(1,0)．
2．若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是(　　)
A．± B．4
C．±或4 D．4或－
答案　D
解析　当x≤2时，x2＋2＝8，x＝±(舍去)；当x>2时，2x＝8，x＝4.综上，x＝－或x＝4.
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)，连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是(　　)

A．(8,4)
B．(8,4)或(－3,4)
C．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)
D．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或
答案　D

解析　∵点A的坐标为(3,4)，

∴OA＝＝5.
当AP＝AO时，
可知P1(－2,4)，P2(8,4)，
当OP＝OA时，可知P3(－3,4)，
当PO＝PA时，设PO＝PA＝m.
有(m－3)2＋42＝m2，m＝，
∴m－3＝，P4，故选D.
4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为多少cm2？(　　)
A．4 B．12 C．4或12 D．6或8
答案　C
解析　如图①，S矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.

5．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(m,1)，则k的值是(　　)
A．－或 B．－或
C. D.
答案　B
解析　A(m,1)代入y＝中，得m＝k，代入y＝2kx中，得2k2＝1，k2＝，所以k＝±.
二、填空题
6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．
答案　70°，70°，40°或55°，55°，70°
解析　当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为＝55°.

7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．

答案　4
解析　当MC为底边时，MC的中垂线交CD于一点P，该点能满足PM＝PC；当MC为腰时，分别以C、M为圆心，MC长为半径画圆，⊙C与CD交于一点P，⊙M与AB、AD各有一个交点，因此，满足条件的点P有4个．
8．在△ABC中 ，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．
答案　11或13
解析　当0<t≤12时，点P在AB上，2(t＋3)＝12＋3＋(12－t)，t＝11；当12<t<24时，点P在AC上，2[3＋(24－t)]＝3＋12＋t，解得t＝13.
9．(2010·上海)已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．
答案　1或5

解析　题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：
旋转得到F1点，则F1C＝1；
旋转得到F2点，则F2B＝DE＝2，F2C＝F2B＋BC＝5.
10．如图，点A、B在直线MN上， AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．

答案　3或或11或13
解析　两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，
可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
②当两圆第一次内切，由题意，
可得11－2t＝1＋t－1，t＝；
③当两圆第二次内切，由题意，
可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
④当两圆第二次外切，由题意，
可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13.
所以，点A出发后3秒或秒或11秒或13秒两圆相切．
三、解答题
11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．

解　∵AB是⊙O的直径，
∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°，AB＝2BC＝4.
当∠BFE＝90°时，
∵F是BC中点，
∴BF＝×2＝1.
在Rt△BEF中，∠B＝60°，
∴BE＝2BF＝2×1＝2，AE＝4－2＝2.
又∵AE＝2t，∴2t＝2，t＝1.
当∠BEF＝90°时，
在Rt△BEF时，BE＝BF＝，
∴AE＝4－＝3，
∴2t＝3，t＝1.75.
同样，当t＝1.75＋＝2.25时，∠BEF＝90°.
综上，t＝1或1.75或2.25.
12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；
(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
解　(1)证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，得解得a＝0，
∴与条件a＞0不符，
∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
(2)解法一：∵A、C、D三点共线(如下图)，

∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：
①A、B、C；
②A、B、E；
③A、B、D；
④A、D、E；
⑤B、C、D；
⑥B、D、E.
将①、②、③、④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解．
所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
解法二：抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点为(1，k)，假设抛物线过A(1,0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与(1)矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
(3)①当抛物线经过(2)中⑤B、C、D三点时，则
解得
②当抛物线经过(2)中⑥B、D、E三点时，同法可求：

综上，a和k的值为或
13．(2011·贵阳)
【阅读】
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)为端点的线段中点坐标为(，)．
【运用】

(1)如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，则点M的坐标为__________；
(2)在直角坐标系中，有A(－1,2)，B(3,1)，C(1,4)三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
解　(1)∵四边形ONEF是矩形，
∴点M是OE的中点．
∵O(0,0)，E(4,3)，
∴点M的坐标为(2，)．
(2)设点D的坐标为(x，y)．
若以AB为对角线，AC、BC为邻边构成平行四边形，则AB、CD的中点重合，
∴解得，

若以BC为对角线，AB、AC为邻边构成平行四边形，则AD、BC的中点重合，
∴解得，
若以AC为对角线，AB、BC为邻边构成平行四边形，则BD、AC的中点重合，
∴解得，
综上可知，点D的坐标为(1，－1)或(5,3)或(－3,5)．