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概率论与数理统计练习册
习题1-1　随机事件
1．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A：
（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A表示“点数之和大于10”.
　　　　　　　　　　　　　　；A　　　　　　　　　　　　.
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示“射击次数不超过5次”.
　　　　　　　　　　　　　　；A　　　　　　　　　　　　.

2．多选题: 以下命题正确的是（ ）
（A）; 　　　　（B）;
（C）; 　　　（D）.

3．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：
（1） A，B，C都发生：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
（2） A，B，C都不发生：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
（3） A发生，B与C不发生：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
（4） A，B，C中至少有一个发生：　　　　　　　　　　　　　　　　　；
（5） A，B，C中至少有两个发生：　　　　　　　　　　　　　　　　　；
（6） A，B，C中不多于两个发生：　　　　　　　　　　　　　　　　　.
4．若事件，，满足等式，问是否成立？

5．设某工人连续生产了4个零件，表示他生产的第个零件是正品（），试用表示下列各事件：
（1）只有一个是次品；
（2）至少有一个次品；
（3）没有一个是次品；
（4）恰好有三个是次品；
（5）至少有三个不是次品.

习题1-2　随机事件的概率
1．填空题：
（1）已知，，，则　　　，　　　，　　　　，　　　　，　　　　，　　　　.
（2）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为 .
（3）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为 .
2．选择题：
（1）事件与互相对立的充要条件是（ ）
（A）; （B）;
（C）; （D）.
（2）设A, B为两随机事件，且，则下列式子正确的是
（A）P (A+B) = P (A); （B）
（C） （D）.
（3）设、是任意两事件，则　　　　　　　　　.
　　（A）；　　　　　　　（B）；
（C）；　　　　　　（D）.
3．设，，，求，， 三事件中至少出现一个的概率．

４．设，为两个随机事件，证明 .

５．向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1.只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率.

６．两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1和2，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率.

习题1-3　条件概率
1．选择题：
（1）设A，B为两个互逆事件，且，，则　　　　　　
　　　（A）；　　　　　（B）；
（C）；　　　　　（D）.
（2）已知，，，则　　　　　　　
（A）；　　　（B）；
（C）；　　　（D）.
2．已知，，，求.

3．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一球，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.

4．已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱任取3件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率.

5．一箱产品，A，B两厂生产分别各占60％，40％，其次品率分别为1％，2％.现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？

6.某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．

习题1-4　独立性　＊主观概率
1．选择题：
（1）设，，，则下列结论正确的是　　　　.
　　（A）；　　　　　　　　　　（B）；
（C）事件与事件相互独立；　　（D）事件与事件B互逆.
（2）设，，，则　　　　　.
（A）　事件与互不相容；　　　　（B）事件与互逆；
（C）　事件与不相互独立；　　　（D）事件与相互独立.
2．已知，，.
（1）若事件与互不相容，求；
（2）若事件与相互独立，求.

3．对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为0.4，0.5，0.7．求在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率．

4．一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为，求此射手每次射击的命中率．

5．甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率．

6．设是任意两事件，其中的概率不等于0和1，证明：是事件相互独立的充分必要条件.

习题2-1 随机变量
习题2-2 离散型随机变量
1． 填空题：
(1) 设随机变量的分布律为: .
试确定.
(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，以表示任意取出的5个产
品中的次品数，则的分布律为 .
(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p ，以表示射击的次数，则的分布律为 .

2． 将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得到的点数之和，X2表示两次中得到的小的点数，试分别求，的分布律．

3． 设一批产品共100只，其中有10只次品，从中取3次，每次任取1只，以表示取出的3只中次品的只数，分别求出在
(1) 不放回抽样
(2) 有放回抽样
两种情形下的分布律.

4． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问
(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？
(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？

5. 某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是0.6. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策. 求作出正确决策的概率.

习题2-3 随机变量的分布函数
1. 分析下列函数中，哪个是随机变量的分布函数.
（1）
（2）
（3）.

2. 设随机变量X的分布函数为, 试求:
（1）系数A； （2）

3. 设随机变量的分布律为:

0
1
2
3

（1） 求的分布函数, 并画出的图形;
（2） 及.

4. 掷一枚均匀的骰子，以记出现的点数为偶数的次数，求的分布函数.

习题2-4 连续型随机变量
1. 设连续型随机变量的密度函数是

则式中为（　　　）.
（A）任何实数; （B）正数;
（C）1; （D）任何非零实数.
2. 设随机变量X的概率密度为

试求(1)系数A; (2)X的分布函数; (3).

3. 设连续型随机变量，试求（1）；
（2）确定常数使.

4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度
，
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

5. 设在(0，5)内服从均匀分布, 求方程有实根的概率.

习题2-5 随机变量的函数的分布
1．设随机变量X的分布律为
X
-2
-1
0
1

1/6
1/3
1/6
1/3
试求：(1)，(2)的分布律．

2．设随机变量~(0,1), 求:的密度函数．

3．设随机变量~ (0,1), 求:的密度函数．

4．设随机变量的密度函数为

求的概率密度.

5．设随机变量服从参数为2的指数分布, 证明在区间 (0,1) 内服从均匀分布.

习题3-1 二维随机变量

1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件.现从中随机抽取一件，记

求随机变量的联合分布律.

2． 袋中装有标号为1，2，2的3个球，从中任取一个并且不放回，用 分别表示第一、第二次取到球的号码数. 求的联合分布律.

3．设随机变量的概率密度为

求（1）常数；
（2）的分布函数；
（3）．

习题3-2 边缘分布
1． 完成下列表格：

Y
X

0.1

0.2
0.4

0.2
0.2

1

2．随机变量在1，2，3，4四个整数中等可能的取值，另一随机变量在1～中等可能的取值，试求的联合分布律和边缘分布律.

3．二维随机变量的概率密度为

求的边缘概率密度.

4．二维随机变量在以原点为圆心，为半径的圆上服从均匀分布，试求的联合概率密度和边缘概率密度.

习题3-3 条件分布
习题3-4 随机变量的独立性
1．二维随机变量的联合分布律为

0
1
0
0.3
0.2
1
0.4
0.1
试求在的条件下的条件分布律.

2．随机变量的联合概率密度为
（1）求条件概率密度；
(2）说明与的独立性.

3. 设随机变量与相互独立，试完成下表：

Y

1/8

1/8

1/6

1

4．设和是两个相互独立的随机变量，在（0,1）内服从均匀分布，的概率密度为．
（1） 求与的联合概率密度；
（2） 设关于的二次方程为 ，求此方程有实根的概率.

习题3-5 二维随机变量函数的分布
1．设的联合分布律为：
X
0
1
2
0
0.25
0.1
0.3
1
0.15
0.15
0.05

求：（1）的分布律；
（2）的分布律.

2．设随机变量的概率密度为

试求的概率密度.

3. 设随机变量和相互独立，且.
证明：.

4. 设随机变量的概率密度为

求的分布函数.

习题4—1 数学期望
1．设的分布律为：

-1 0 1 2

求（1）；（2）；（3）.

2．设二维随机变量的联合分布律为：

0
1
0
0.3
0.4
1
0.2
0.1
求,,,.

3．把4个球随机地放入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求.

4．设连续型随机变量的概率密度为

其中，，又已知，求，的值.

5．设服从在上的均匀分布，其中为轴，轴及直线所围成的区域. 求（1）; （2） ;（3）.

6．某工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，其概率密度为:

工厂规定，出售的设备在售出一年之内可以调换，若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

习题4—2 方差
1. 填空题:
（1）已知，则＝
（2）设，且与相互独立，则
（3）设的概率密度为，则＝
（4）设随机变量 相互独立，其中,,服从参数为=3的泊松分布，记，则 =
2. 选择题:
（1）对于任意两个随机变量和，若，则
(A) (B)
(C) 和独立 (D) 和不独立
（2）设X~，且，则=
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
3. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3， 假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差.

4. 设两个随机变量，相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分布，求随机变量的方差.

5. 设的概率密度为, 求，.

6. 在每次试验中，事件发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次试验中，事件发生的次数在400～600之间的概率.

习题4—3 协方差与相关系数
1. 选择题:
（1）设与的相关系数，则
(A) 与相互独立 (B) 与不一定相关
(C) 与必不相关 (D) 与必相关
（2）设随机变量与的期望和方差存在，且，则下列说法不正确的是
(A) (B)
(C) 与不相关 　 (D) 与独立
2. 已知随机变量与都服从二项分布(20，0.1)，并且与的相关系数=0.5，试求的方差及与的协方差.

3. 设二维连续型随机变量的联合概率密度为：=
求：① 常数; ② 及.

4. 假设随机变量服从参数的指数分布，随机变量

求:（1）的联合分布律和边缘分布律.
（2），.

习题4—4 矩 协方差矩阵
习题4—5 二维正态分布
1. 设随机变量在区间上服从均匀分布，求阶原点矩和三阶中心矩.

2. 已知随机变量,,且与的相关系数为.（1）求随机变量的数学期望和方差 ；（2）求随机变量与的相关系数.

3. 设服从二维正态分布，且，证明：当时，随机变量相互独立.

习题5—1 大数定律
习题5—2 中心极限定理
1. 设供电网有盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在到之间的概率.

2. 利用中心极限定理确定当投掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4到0.6之间的概率不小于90%.

3. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元, 1.2元, 1.5元各值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，求收入至少为400元的概率.

4. 由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率．

习题6 样本及抽样分布
1. 填空题：
（1）设是来自总体的样本，则样本分布律为
（2）设为总体的一个样本，，且服从分布，则
（3）设为总体的一个样本，则
2. 设某种电灯泡的寿命服从指数分布，求来自这一总体的简单随机样本的联合概率密度.

3. 设，…，是来自正态总体 的样本,试求样本方差的数学期望及方差.

4. 设总体，总体，从总体中抽取容量为10的样本，其样本方差记为；从总体中抽取容量为8的样本，其样本方差记为，求下列概率：
（1）； （2）.

5．设总体，抽取样本，,…，，样本均值为，样本方差为，若再抽取一个样本. 证明：统计量.

习题7-1 点估计
习题7-2 估计量的评选标准
1. 选择题:
（1）设是取自总体的一个简单样本，则的矩估计是
（A）（B）（C）（D）
（2）设为总体的一个随机样本，，为 的无偏估计，C＝
（A）/ （B）/ （C） 1/ （D） /
（3）设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为
（A） （B） （C） （D）
（4）在3）题条件下，的无偏估计量是
（A） （B） （C） （D）
2. 设总体X具有分布律 ：
X
1
2
3

其中为未知参数，已知取得了样本值 试求的矩估计值和极大似然估计值.

3. 设总体的概率密度为

是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.

4．设总体服从正态分布，是从此总体中抽取的一个样本．试验证下面三个估计量：
（1）
（2）
（3）
都是的无偏估计，并指出哪一个估计量最有效．

习题 7-3 区间估计
习题 7-4 正态总体参数的区间估计
1. 某批钢球的重量从中抽取了一个容量为的样本且测得（单位:），试在置信度下，求出的置信区间.

2. 设有一组来自正态总体的样本观测值：
　　0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512，
　　⑴ 已知，求的置信区间（设置信度为0.95）；
　　⑵ 未知，求的置信区间（设置信度为0.95）．

3. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：）：
42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7
求：抗弯强度标准差的置信度为0.90的置信区间.

4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两条流水线上抽取样本： 及算出，假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为（1）设两总体方差，求置信水平为％的置信区间；（2）求/的置信水平为％的置信区间.

习题 7-5 非正态总体参数的区间估计举例
习题 7-6 单侧置信区间
1. 假定每次试验时，事件A发生的概率未知.若在60次独立试验中，A发生15次.求概率的置信度为0.95的置信区间.

2. 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得它们的行驶路程（）如下：
41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800
设汽车轮胎行驶路程服从正态分布，求：
（1） 的置信水平为95%的单侧置信下限；
（2） 的置信水平为95%的单侧置信上限.

3. 随机从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻（）为
A批导线：0. 143 0.142 0.143 0.137
B批导线：0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设测定数据分别来自分布，，且两样本相互独立，又，，均未知. 试求的置信水平为0.95的单侧置信下限.

习题8 假设检验
1. 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55，0.1082).现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55()？

2. 有一批枪弹，出厂时测得枪弹射出枪口的初速度服从(单位:).
在储存较长时间后取出9发进行测试，得样本值:914、920、910、934、953、945、912、924、940. 假设储存后的枪弹射出枪口的初速度仍服从正态分布，可否认为储存后的枪弹射出枪口的初速度已经显著降低(取)?

3. 从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取容量分别为9与8的样本进行测试，且测得含锌量的样本均值与样本方差如下，东支:；西支: .假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，那么东、西两支矿脉的含锌量有无显著差异(取)？

4. 某批导线的电阻(单位:)，从中随机地抽取9根，测得其样本标准差.可否认为这批导线电阻的标准差仍为(取)？

5. 测得两批电子元件样品的电阻()：
I批
0.140
0.138
0.143
0.142
0.144
0.137
II批
0.135
0.140
0.142
0.136
0.138
0.140
设这两批元件的电阻总体分别服从，，且两样本相互独立。试问这两批电子元件电阻的方差是否一样？

参　考　答　案
习题1－1
1、 （1）；　　
（2）；　　　
2、 ＡＢＣＤ
3、 （1） ； （2） ； （3） （或）；
（4）； （5） （或）；
（6）
4、 不成立
5、（1）；
（2）（或）；
（3）；
（4）；
（5）

习题1―2

1、（1）0.6，0.4，0.6，0.2，0，0.4； （2）99/392； （3）0.777
2、（1）C；（2）A；（3）C
3、 5、0.225 ； 6、0.121

习题1－3

1、（1）C；　（2）ABCD　　　2、0.3　　　3、0.089
4、0.25； 5、乙厂； 6、（1）0.4；（2）0.4856
习题1－4

1、（1）C；　（2）D　　　　　　　　2、（1）0.3；　（2）
3、0.36； 　　4、 ； 5、0.458
习题2-1, 2-2

1、(1) 1 ；
(2) ；
(3) ；

2、（1）
X1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
pk
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36

（2）
X2
1
2
3
4
5
6
pk
11/36
9/36
7/36
5/36
3/36
1/36

3、(1)； (2)
4、(1)0.0333 (2)0.259 ； 5、 0.71

习题2-3
1．(1)不是；(2)不是；(3)是
2、(1) 1； （2）；
3、(1) ； (2)；
4．

习题2-4
1、(B)(C)
2、.(1) (2) (3)
3、（1）0.5328；0.6977；（2）3 ；
4、；
5、 .

习题2-5
1、
Y
-5
-3
-1
1

Z
0
1
4
p
1/6
1/3
1/6
1/3
p
1/6
2/3
1/6
2、 ；
3、 ；
4、

练习3-1
1、

0
1
0
0.1
0.1
1
0.8
0
2、

1
2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
3、(1)； (2)； （3）3/5

练习3-2
1、

0.1
0.1
0.2
0.4

0.2
0.2
0.2
0.6

0.3
0.3
0.4
1

2、
Y
1
2
3
4

1
1/4
1/8
1/12
1/16
25/48
2
0
1/8
1/12
1/16
13/48
3
0
0
1/12
1/16
7/48
4
0
0
0
1/16
1/16

1/4
1/4
1/4
1/4
1
3、，
4、； ；

练习3-3，3-4
1、

0
1

4/5
1/5
2、(1)对一切的，有 ；
对一切的，有
(2) X,Y相互独立
3、

1/24
1/8
1/12
1/4

1/8
3/8
1/4
3/4

1/6
1/2
1/3
1
4、（1） ； (2) 0.1448
练习3-5

0
1
2
3

0.25
0.25
0.45
0.05
1、（1）

0
1

0.8
0.2

（2）
2、.
4、

习题4-1
1、（1）；（2）；（3）。 2、0.5, 0.3, -0.1, 0.3
3、 ； 4、，
5、（1）；（2）；（3）. 6、33.64

习题4-2
1、(1) 1.16 ；(2) 7.4 ；(3) ；(4) 16 . 2、(1) B；(2) A
3、， 4、
5、 6、 0.975

习题4-3

1、(1) c；(2) d 2、5.4；0
3、(1) 2；(2)
4、（1）

0
1
0

0
1

（2），

习题4-4，习题4-5
1、，
2、（1），； （2）
习题5—1,2
1、0.9475；0.9842 2、68； 3、0.003,； 4、0.9525.

习题6
1、（1）；
（2）1/3； （3）0.025
2、
3、
4、0.9832；0.95

习题7-1、2
1、（1）D；（2）C；（3）A；（4）B
2、；
3、；
4、最有效
习题7-3、4
1、（21.52，23.84）
2、⑴（0.5024，0.5154）；⑵（0.5006，0.5172）
3、（0.53，1.15）
4、（1）（-0.401，2.601）；（2）（0.128，1.283）

习题7-5、6
1、（0.1404，0.3596）
2、（1）40394；（2）2342
3、-0.0012

习题8
1、 可以这样认为
2、 可以这样认为
3、 可认为是一样的
4、 不应该这样认为
5、 一样
习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：
(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件；
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件一分钟内呼叫次数不超过次}；
(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件寿命在到小时之间}。
解 (1) ， .
(2) 记为一分钟内接到的呼叫次数，则
， .
(3) 记为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
， .
2. 袋中有个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设{取得球的号码是偶数}，{取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
解 (1) 是必然事件；
(2) 是不可能事件；
(3) {取得球的号码是2，4}；
(4) {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) {取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，7，9}；
(6) {取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6，8，10}；
(7) {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3. 在区间上任取一数，记，，求下列事件的表达式：(1)；(2)；(3)；(4).
解 (1) ;
(2) ;
(3) 因为，所以；
(4) 4. 用事件的运算关系式表示下列事件：
(1) 出现，都不出现（记为）；
(2) 都出现，不出现（记为）；
(3) 所有三个事件都出现（记为）；
(4) 三个事件中至少有一个出现（记为）；
(5) 三个事件都不出现（记为）；
(6) 不多于一个事件出现（记为）；
(7) 不多于两个事件出现（记为）；
(8) 三个事件中至少有两个出现（记为）。
解 (1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7)；(8).
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第次抽到废品”，，试用表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
(2) 只有第一次抽到废品；
(3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品；
(2) 只有两次抽到废品。
解 (1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
6. 接连进行三次射击，设={第次射击命中}，，{三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示和。
解

习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数. 于是

2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；
(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；
(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；
(4) 第二次取到红