小学四年级奥数第三讲定义新运算.doc

第三讲 定义新运算
　　我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
　　如：2＋3＝5
　　 2×3＝6
　　都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，
　　①求 3△2， 2△3；
　　②这个运算“△”有交换律吗？
　　③求（17△6）△2，17△（6△2）；
　　④这个运算“△”有结合律吗？
　　⑤如果已知4△b＝2，求b.
　　分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5
　　2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.
　　②由①的例子可知“△”没有交换律.
　　③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步
　　39△2＝3 × 39-2×2＝113，
　　所以（17△6）△2＝113.
　　对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次
　　17△14＝3×17－2×14＝23，
　　所以17△（6△2）＝23.
　　④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.
例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；
　　②求12※（3※4），（12※3）※4；
　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.
　　解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.
　　②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，
　　所以 12※（3※4）＝43.
　　对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次
　　21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；
　　b※a＝b×a－（b＋a）
　　＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）
　　所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.
　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律.
　　④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；
　　3※（5※x）＝3※（4x－5）
　　＝3（4x－5）－（3＋4x－5）
　　＝12x－15－（4x－2）
　　＝ 8x－ 13
　　那么 8x－13＝3
　　解出x＝2.

　　③这个运算有交换律和结合律吗？

的观察，找到规律：

例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
　　分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
　　(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.
　　解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n
　　=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

　　①当m=1，n=2时：
　　（2*3）△4=（1×2+2×3）△4
　　=8△4=k×8×4=32k
　　有32k=64，解出k=2.
　　②当m=3，n=1时：
　　（2*3）△4=（3×2+1×3）△4
　　=9△4=k×9×4=36k

　　所以m=l，n=2，k=2.
　　（1△2）*3=（2×1×2）*3
　　=4*3
　　=1×4+2×3
　　=10.
　　在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.