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第19讲 三角函数基础复习
一、选择题
1.将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A． B．
C． D．
解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此选C。
2.设，对于函数，下列结论正确的是
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
解：令，则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选B。
3.函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x=对称
解：函数y=1+cos是偶函数，故选B
4.已知∈(,)，sin=,则tan()等于
A. B.7 C.－ D.－7
解：由则，=，选A.
5.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于
A. B. C.2 D.3
解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于，选B.
6.若的内角满足，则
A. B． C． D．
解：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA>0，又，故选A
7.设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是
A．2π 　　　　B. π 　　　　C. 　　　 D.
解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.
8.已知，函数为奇函数，则a＝
（A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1
9．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解：先将的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像，选择C。
10.函数的最小正周期为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：T＝，故选B
11.已知函数,则的值域是
(A) (B) (C) (D)
解析：
即等价于，故选择答案C。
12.函数的最小正周期是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：，选D
13.函数的单调增区间为
A． B．
C． D．
解：函数的单调增区间满足，
∴ 单调增区间为，选C.
14.函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是
（A）2π （B）4π （C） （D）
解析: 所以最小正周期为,故选D
考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易.
15.若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝
（A）3－cos2x （B）3－sin2x （C）3＋cos2x （D）3＋sin2x
解析:
所以,因此故选C
本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般
16.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A） （B）
（C） （D）
解析：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.
17.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　　）
A．偶函数且它的图象关于点对称 　B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称　 D．奇函数且它的图象关于点对称
解析：函数、为常数,，∴ 的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设，则函数=，所以是奇函数且它的图象关于点对称，选D.
18.函数y=sin2x+4sinx,x的值域是
(A)［-,］ (B)［-,］ (C)［］　　 (D)［］
解析：，故选择C。
19.若，,，则的值等于
（A） （B） （C） （D）
解：由，则，，又
，，所以，
解得，所以 ＝，故选B
二、填空题
1.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿＿。
解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于.
2.若是偶函数,则有序实数对()可以是 .(注:只要填满足的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).
解析．ab≠0，是偶函数，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=－1.
3.若是偶函数，则a= .
解析：是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。
4.＝　　
解:

5.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°==－．
6.如果＝，且是第四象限的角，那么＝
解：已知；
7.函数的最小正周期是_________。
解：函数=sin2x，它的最小正周期是π。
8.已知，sin()=－ sin则cos=________.
解： ，，
，∴ ，，
则=
=
9.已知，，则 。
解：由，Þcosa＝－，所以－2
三、解答题
1.已知
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值。
解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求。
（Ⅱ）=
===。
2.已知
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值。
解：(Ⅰ)由，得，所以＝。
（Ⅱ）∵，∴。
3.已知函数，
（Ⅰ）求的定义域； （Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.
解：（1）依题意，有cosx¹0，解得x¹kp＋，
即的定义域为｛x|xÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝
（2）＝－2sinx＋2cosx\＝－2sina＋2cosa
由是第四象限的角，且可得sina＝－，cosa＝,\＝－2sina＋2cosa＝
4.已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的定义域； (Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan=，求f()的值.
解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z),故f(x)的定义域为｛|x|x≠kπ+,k∈Z｝.
(Ⅱ)因为tanα=,且α是第四象限的角,所以sinα=,cosα=,
故f(α)= = = =.
5.已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解：（I）
的最小正周期
由题意得 即　
的单调增区间为
（II）方法一： 先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。
方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。
6.已知函数.
(I)求的最小正周期；(II)求的的最大值和最小值；(III)若，求的值.
解：
（Ⅰ）的最小正周期为;
（Ⅱ）的最大值为和最小值；
（Ⅲ）因为，即,即
7.已知求θ的值.
解析：　由已知条件得.即.
解得.由0＜θ＜π知，从而.
8.已知函数，.求:
(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；
(II) 函数的单调增区间.
【解析】(I)
当,即时, 取得最大值.
函数的取得最大值的自变量的集合为.
(II)解: 由题意得:
即: 因此函数的单调增区间为.
9.已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).
解：（I）
的最大值为2，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
.
过点，

又.
（II）解法一：，
.
又的周期为4，，
10.已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－) = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
=2sin[2(x－)－]+1 = 2sin(2x－) +1 ,∴ T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)}．
11.求函数＝2＋的值域和最小正周期．
[解]

∴ 函数的值域是,最小正周期是；
12.已知是第一象限的角，且，求的值。
解：=
由已知可得sin, ∴原式=.
13.已知，．求和的值．
解法一：由得则
因为所以

解法二：由得
解得或由已知故舍去得
因此，那么
且
故
14.如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤)
的图象与y轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
解：（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.
（II）由函数及其图像，得
所以从而 ，
故.
15设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.

16.已知函数.
（1）若，求函数的值； （2）求函数的值域.
解：（1），
.
（2），
， ， ，
函数的值域为.