北京市西城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科.doc

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷
高三数学（文科） 2011.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，那么集合
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 若，则下列不等式正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 命题“若，则”的逆否命题是
（A）若，则
（B）若，则
（C）若，则
（D）若，则
5. 设是等差数列，若，，则数列的前项和为
（A）
（B）
（C）
（D）
开始
输出
结束
是
否
输入

6. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）

7． 如图，四边形中，，
，，将四边形
沿对角线折成四面体，使平
面平面，则下列结论正确的是
（A）
（B）
（C）是正三角形
（D）四面体的体积为
8. 设函数，的零点分别为，则
（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 为虚数单位，则______.
10. 已知，，则平面向量与夹角的大小为______.
11.若实数满足条件则的最大值为______.
12.在中，若，，则____.
13. 已知双曲线的离心率为，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.
14.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆；
③到两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形；
④到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线.
其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）
A
B
C
D
C1
A1
B1
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，为中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：.

17.（本小题满分13分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率

10
0.25

24

2
0.05
合计

1

频率/组距
15
25
20
10
0
30
次数

a

（Ⅰ）求出表中及图中的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.

18.（本小题满分13分）
已知椭圆 （）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求△的面积.

19.（本小题满分14分）
已知函数.
(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；
(Ⅱ)求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

20.（本小题满分14分）
已知数列的首项为，对任意的，定义.
（Ⅰ） 若，求；
（Ⅱ） 若，且.
（ⅰ）当时，求数列的前项和；
（ⅱ）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末
高三数学参考答案及评分标准
（文科） 2011.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
C
B
B
A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 10. 11.
12. 13. ， 14. ①③④
注：13题第一问2分，第二问3分；
14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）= ………………2分
. ………………4分
（Ⅱ） ………………6分
. ………………8分
因为，所以， ………………10分
所以 ， ………………11分
所以的最大值为 ，最小值为. ………………13分

16.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）连结，设交于点，连结. ………………2分
因为为正方形，所以为中点，
又为中点，所以为的中位线，
所以. ………………4分
因为平面，平面，
A
B
C
D
C1
A1
B1
O
所以平面. ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ………………7分
因为侧面是正方形，，
且，
所以平面.
又，
所以平面. ………………9分
又因为平面，
所以. ………………10分
所以. ………………12分
又平面，
所以. ………………13分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，
所以. ………………2分
因为频数之和为，所以，. ………………3分
. ………………4分
因为是对应分组的频率与组距的商，所以.……………6分
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. ………8分
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，
设在区间内的人为，在区间内的人为.
则任选人共有
，15种情况， ………………10分
而两人都在内只能是一种， ………………12分
所以所求概率为.（约为） ………………13分

18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意得， ………………2分
又，所以，. ………………3分
所以椭圆的方程为. ………………4分
（Ⅱ）设，，，
联立 消去得……（*）， ………………6分
解得或，所以，
所以，， ………………8分
因为直线的斜率为，所以，
解得（满足（*）式判别式大于零）. ………………10分
到直线的距离为， ………………11分
， ………………12分
所以△的面积为. ………………13分

19.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)由已知， ………………2分
.
故曲线在处切线的斜率为. ………………4分
(Ⅱ). ………………5分
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为. ………………6分
②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
………………8分
（Ⅲ）由已知，转化为. ………………9分
………………10分
由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.) ………………11分
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，， ………13分
所以，
解得. ………………14分

20.（本小题满分14分）
(Ⅰ) 解：,,
. ………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）解：因为（），
所以，对任意的有，
即数列各项的值重复出现，周期为. ………………5分
又数列的前6项分别为，且这六个数的和为7.
设数列的前项和为，则，
当时，
，
当时，

， ………………7分
所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ………………8分
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的有，
又数列的前6项分别为，且这六个数的和为.
设，（其中为常数且），
所以
.
所以，数列均为以为公差的等差数列. ………………10分
因为时，，时，， ………………12分
所以{}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.
所以数列中任意一项的值最多在此数列中出现6次，
即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分

9