高三理科数学压轴题.doc

解答题指导
一、解析几何
1、已知椭圆的右焦点为,上顶点为,为上任一点, 是圆
的一条直径.若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若的最大值为49，求椭圆的方程. ( )
2、如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．设和
的外接圆圆心分别为,．
（Ⅰ）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
（Ⅱ）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
（Ⅲ）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；
若不存在，说明理由．
二、函数与导数
3、设函数，其中为常数。
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）若函数有极值点，求的取值范围及的极值点；
（3）求证：对任意不小于3的正数数，不等式都成立。
三、数列与不等式
4、已知函数满足，，；且使成立的
实数只有一个。
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）若数列满足，，，，证明数列 是等比数列，并求
出的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：，。
5、思考（答案自己整理）已知数列的前项的和为，对一切正整数都有。
（1）求证：是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）当，证明：
参考答案
2、解：（Ⅰ）圆心．∴圆方程为，直线CD方程为．
∵⊙M与直线CD相切,∴圆心M到直线CD的距离d=, 化简得： （舍去负值）．
∴直线CD的方程为．
（Ⅱ）直线AB方程为：，圆心N ． ∴圆心N到直线AB距离为．
∵直线AB截⊙N的所得弦长为4，∴．∴a=±(舍去负值) ．
∴⊙N的标准方程为．
（Ⅲ）存在．由（Ⅱ）知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，
∴当且仅当圆N半径,即a=4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为 ．
此时， ⊙N的标准方程为．
3、解：（1）由题意知，的定义域为，
…… 1分
当时， ，函数在定义域上单调递增． …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，有两个相同的解，
时，
时，函数在上无极值点． …… 3分
③当时，有两个不同解，
时，，
,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

减
极小值
增
由此表可知：时，有惟一极小值点， …… 5分
ii) 当时，0<<1，此时，，随的变化情况如下表：

增
极大值
减
极小值
增
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；…… 7分
综上所述：
当且仅当时有极值点; …… 8分
当时，有惟一最小值点；
当时，有一个极大值点和一个极小值点
（3）由(2)可知当时，函数，
此时有惟一极小值点
且 …… 9分

令函数

4、解：（Ⅰ）由，，，得.………1分
由，得.……………………………………………………………2分
由只有一解，即，也就是只有一解，
∴，∴.……3分；∴.故.……4分
（Ⅱ）∵，，∴，，
，…5分；猜想，.…6分
下面用数学归纳法证明：
10 当n=1时，左边=，右边=，∴命题成立. ……………………7分
20 假设n=k时，命题成立，即；
当 n=k+1时，，
∴当 n=k+1时，命题成立.…8分
由10，20可得，当时，有.∵，
∴
∴是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为.……………9分
（Ⅲ）∵，
∴…………………………10分
.……………………………12分
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