恒等变换与伸压变换.doc

恒等变换、伸压变换
【教学目标】
1．掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点，理解恒等、伸压变换的几何意义．
2．熟练运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换
【教学过程】
一、问题情境
问题1：给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上的一个点(向量)变换成另外一个点(向量) ．反过来，平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示呢？如果可以，又该怎样表示呢？
问题2：已知△ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M来表示这一变换?
二、数学建构
1．恒等变换
设△ABC上的任一点（x，y）变换后对应的点为（x′，y′）则有T：，又，故．
由矩阵确定的变换TM称为恒等变换，我们把矩阵称为恒等变换矩阵
或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E．
平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己．
2．伸压变换
由矩阵M=或M=确定的变换TM称为（垂直）伸压变换，我们把矩阵称为沿轴或轴的垂直伸压变换矩阵．
当M=时，确定的变换将平面图形作沿x轴方向伸长或压缩；当时伸长，当时压缩．变换TM确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x轴方向伸长或压缩,以为例，对于x轴上方的点向下压缩，对于x轴下方的点向上压缩，对于x轴上的点变换前后原地不动．
当M=时确定的变换将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,当时伸长，当时压缩．
在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．
三、运用新知
例1求 在矩阵M= 作用下的图形．

例2已知曲线y＝sinx经过变换T作用后变为新的曲线y＝sin2x，画出相关的图象，并求出变换T对应的矩阵M．

例3验证圆C: 在矩阵A=对应的伸压变换下变为一个椭圆, 并求此椭圆的方程．

四、课堂练习
1．已知四边形ABCD的顶点分别为A（-1，0），B（1，0），C（1，1），D（-1，1），四边形ABCD在矩阵变换作用下变成正方形，则＝（　　　）.
Ａ、 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、
2．若直线y=4x-4在矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=__________.
3．求圆C：在矩阵对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型
五、课堂小结
1．恒等变换矩阵
2．当伸压变换M =确定的变换，将原来平面图形上的横坐标 ，纵坐标 ； 伸压变换M =确定的变换，将原来平面图形上的横坐标 ，纵坐标 ．
【课后巩固】
1．点（－１，k）在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为（-2,　-4　），则m、k的值分别为 ．
2．已知曲线经过伸压变换T作用后变为新的曲线，试求变换T对应的矩阵M．
3．研究坐标平面上正方形OBCD在矩阵作用下所得几何图形。其中O（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．

4．研究坐标平面上正方形OBCD在矩阵作用下的变换。其中O（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．

5．求把△ABC变成△A’B’C’的变换矩阵M，其中A（0，0），B（2，0），C（1，1），A’（0，0）B’（2，0），C‘（1，2）．

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