数学解题真经(十一)寻旧思想.doc

寻旧思想---杨飞
在问题解决的过程中，除了对信息加工的实践操作活动外，还有大脑加工信息的思维活动。它的规律就是寻旧思想。“寻”即“寻找”、“联系”之意；“旧”指认知结构中现有的知识经验，主要指认知结构中的熟悉结构。也就是说信息加工的思维活动规律就是寻找问题的信息与熟悉结构之间的联系，为化归活动指明方向。
一、思维的基本过程离不开我们的认知结构，蕴含着寻旧思想
心理学认为思维活动表现为：回想、联想、分析与综合、比较、抽象、概括、具体化、判断、推理等基本过程。
1．回想和联想 回想是过去经历过的事物在头脑中重新呈现的过程。联想是由当前感知的事物想起有关的另一事物，又由另一事物又想起其他事物的过程。
可见，回想和联想的事物都是我们过去曾经感知过的事物，这些事物的特征和要素象代码那样储藏在大脑中，形成认知结构中的知识网点。所以，回想和联想的过程就是外界信息与认知结构中知识网点的联系过程。
2．分析与综合 分析是大脑中把一个事物分解为若干部分或若干属性。综合是将一个事物的各个部分或个别属性有机地结合为一个整体。那么，无论是对一个事物进行分析或者对一个事物的各个属性进行综合，所运用的知识工具都来自于我们的认知结构。分析和综合水平的高低与认知结构的网络系统的活性密切相关，缺乏活性的认知结构，绝不可能有良好的分析、综合能力。
3．比较 比较就是根据一定标准，找出事物间的不同或相同属性的思维过程。比较离不开评价标准，而标准就是大脑中的认识经验。如果认知结构中没有评价标准，就不能确定事物间的特征差异，也不可能作出科学合理的评价结果。
4．判断和推理 判断是大脑肯定或否定某种事物或某些事物之间的联系的过程。推理就是根据已有的判断引出新判断的过程。要判断某一事物，认知结构中必须具备度量事物的尺码。而推理的各个程序间都具有一定因果关系，要让推理的各个程序顺利链接，大脑中必须拥有推理依据，即法则、公式、定理等。显然，这些尺码和依据都是我们的认知经验。
所以，思维的每一过程，都是外界事物和认知结构相互作用而进行的，一是外界信息作用于我们认知结构，让大脑产生回想和联想。二是认知结构作用于外界事物呈现的信息，使大脑对这些信息进行分析、综合、比较、判断、推理等一系列思维活动。所以，思维活动中蕴含着寻旧思想。
二、关于问题解决的思维过程的剖析
心理学把问题解决的思维过程分为4个过程：①发现问题并提出问题；②明确问题，分析问题的特点和条件；③提出假设，考虑解答方法；④检验假设。
中学数学所说的“问题”，都有确定的结论和解答方法，只是针对我们知识水平而设置的练习题。解答时通常只需以下过程。
1．明确问题 就是感知和识别问题信息的审题过程。主要有回想、联想和分析这一些思维活动。而这些活动都离不开我们的认知结构，特别是熟悉结构。
2．提出假设 就是提出一个可能解决问题的方案。主要经过比较、分析、综合、概括等思维活动，所提出的解题策略和方案是问题信息与认知结构相互作用的产物。
3．检验假设 就是检验假设方案的可行性与正确性。常常运用比较、综合、判断、推理等多种思维活动，其实这一过程主要是一个推理论证过程，每一次判断和推理的依据都是认知结构中的知识经验。所以，检验假设这一过程也离不开我们的认知结构。
综上所述，无论是思维的各个过程，还是问题解决的各个过程，都离不开认知结构，都是问题的信息与认知结构相互作用以此寻找二者的联系的过程，这就是寻旧过程。它包含寻旧、联系、试误和渐悟。
例 已知为非负整数，且，求证：（1999年加拿大竞赛题）
寻旧 笔者初见此题，首先回想自己的认知结构，猜想可以用排序定理或切比雪夫不等式进行证明（假设方案）。
试误1（形变化归：构造排序定理的序列） 不妨设，则，所以，但是，当时，. 放缩过度，试误失败。
试误2（形变化归：构造排序定理的序列） 不妨设，则，所以
. 已化为一个三次函数式，试误成功。
渐悟 由于已是三次函数式，用均值不等式易求得，当取“=”号.
此题解法较多，笔者想到用排序定理或切比雪夫不等式进行证明，是因为在寻旧过程中发现问题的结论信息与二定理在形式上具有相同特征，找到了问题信息与熟悉结构间的联系，从而采取试误1、试误2一系列化归试误活动对假设方案进行检验，当出现三次式后，立即顿悟. 另外，由于个体熟悉结构的差异，不同的人采取的试误方法和试误结果必不相同，这也是解题能否顺利完成的原因之一.