专题十六电磁感应中的电路问题.doc

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专题十六 电磁感应中的电路问题
重点难点
在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，则导体或回路就相当于电源．将它们接上电阻或用电器可以对用电器供电，接上电容器可以使电容器充电．
解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路．感应电动势的大小相当于电源电动势．其余部分相当于外电路，并画出等效电路图．
规律方法
【例1】如图（a）所示的螺线管的匝数n=1500，横截面积S=20cm2，电阻r=1.5Ω，与螺线管串联的外电阻R1=10Ω，R2=3.5Ω．若穿过螺线管的磁场的磁感应强度按图（b）所示的规律变化，计算R1上消耗的电功率．　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】由磁感应强度变化规律图象可知，螺线管中磁场磁感强度的变化率为T/s
通电螺线管产生的感应电动势为V
电路中感应电流大小为A=1A
所以R1上消耗的电功率为．
训练题如图所示，是用于观察自感现象的电路，设线圈的自感系数较大，线圈的直流电阻RL与小灯泡的电阻R满足R L＜R．则在电键S由闭合到断开瞬间，可以观察到　 （ C ）
A．灯泡立即熄灭
B．灯泡逐渐熄灭，不会闪烁
C．灯泡有明显的闪烁现象
D．灯泡会逐渐熄灭，但不一定有闪烁现象　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】如图所示，MN、PQ为两平行金属导轨，M、P间连有一阻值为R的电阻，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度为B，磁场方向与导轨所在平面垂直，图中磁场垂直纸面向里．有一金属圆环沿两导轨滑动，速度为υ，与导轨接触良好，圆环的直径d与两导轨间的距离相等．设金属环与导轨的电阻均可忽略，当金属环向右做匀速运动时　　　（　B　）　　　　
A．有感应电流通过电阻R，大小为　　　　
B．有感应电流通过电阻R，大小为
C．有感应电流通过电阻R，大小为　　　　
D．没有感应电流通过电阻R
训练题据报道，1992年7月，美国"阿特兰蒂斯"号航天飞机进行了一项卫星悬绳发电实验，实验取得了部分成功．航天飞机在地球赤道上空离地面约3000 km处由东向西飞行，相对地面速度大约6.5×103 m/s，从航天飞机上向地心方向发射一颗卫星，携带一根长20 km，电阻为800 Ω的金属悬绳，使这根悬绳与地磁场垂直，做切割磁感线运动．假定这一范围内的地磁场是均匀的．磁感应强度为4×10-5T，且认为悬绳上各点的切割速度和航天飞机的速度相同．根据理论设计，通过电离层（由等离子体组成）的作用，悬绳可以产生约3 A的感应电流，试求：
（1）金属悬绳中产生的感应电动势；
（2）悬绳两端的电压；
（3）航天飞机绕地球运行一圈悬绳输出的电能（已知地球半径为6400 km）．
答案：（1）E=5．2×103V
（2）U=2．8×103V
（3）E/=7．6×107V

【例3】在磁感应强度为B=0.4 T的匀强磁场中放一个半径r0=50 cm的圆形导轨，上面搁有互相垂直的两根导体棒，一起以角速度ω=103 rad/s逆时针匀速转动．圆导轨边缘和两棒中央通过电刷与外电路连接，若每根导体棒的有效电阻为R0=0.8 Ω，外接电阻R=3.9 Ω，如图所示，求：
（1）每半根导体棒产生的感应电动势；
（2）当电键S接通和断开时两电表示数（假定RV→∞，RA→0）．
【解析】（1）每半根导体棒产生的感应电动势为E1= =BI2ω=×０.4×103×（0.5）2 V＝50 V.
（2）两根棒一起转动时，每半根棒中产生的感应电动势大小相同、方向相同，相当于四个电动势和内阻相同的电池并联，得总的电动势和内电阻为E＝E1＝50 V，r=R0＝0.1 Ω
当电键S断开时，外电路开路，电流表示数为零，电压表示数等于电源电动势，为50 V.
当电键S′接通时，全电路总电阻为R′=r+R=（0.1+3.9）Ω=4Ω.
由全电路欧姆定律得电流强度（即电流表示数）为I＝ A=12.5 A．
此时电压表示数即路端电压为U=E-Ir=50-12.5×0.1 V＝48.75 V（电压表示数）
或U＝IR＝12.5×3.9 V＝48.75 V．
训练题图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直．质量m为6.0×10-3kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1．当杆ab达到稳定状态时以速率υ匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率υ和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2．
答案：v=4．5m/s R2=6．0Ω

【例4】如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：
（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？
（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．
【解析】（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流A，ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度m/s2．
ab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势，根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．
设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：
所以m/s=3.75m/s．
（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势
V=3V
由于＞，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：A=1.5A
直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为N=0.6N
所以要使ab以恒定速度m/s向右运动，必须有水平向右的恒力N作用于ab．
上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：
①作用于ab的恒力（F）的功率：W=4.5W
②电阻（R +r）产生焦耳热的功率：W=2.25W
③逆时针方向的电流，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：W=2.25W
由上看出，，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．
训练题如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨单位长度电阻为r0，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为．有垂直纸面向里的非匀强磁场，其磁感应强度沿y方向大小不变，沿x方向均匀增强，即有，其中为常数．一根质量为m，电阻不计的金属杆MN可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中 始终保持与导轨垂直．在t＝0时刻，金属杆MN紧靠在P、Q端，在外力F作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动．求
（1）在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小；

（2）在t时刻流经回路的感应电流大小和方向；
（3）在t时刻金属杆MN所受的安培力大小．
答案：（1）E=skla2t3/2
（2）I=klat/2r0 方向逆时针
（3）F=k2a2l2t3/4r0

能力训练
×　　×　　×

×　　×　　×

v
M
d
c
b
a
R
N
1．如图所示，两根相距l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一固定电阻R，导轨电阻可忽略不计．MN为放ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R．整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面（指向图中纸面内）．现对MN施加一力使它沿导轨方向以速度υ做匀速运动．用U表示MN两端电压大小，则（ A ）
A．U=Blυ/2，流过固定电阻R的感应电流由b到d
B．U=Blυ/2，流过固定电阻R的感应电流由d到b
C．U=Blυ，流过固定电阻R的感应电流由b到d
D．U=Blυ，流过固定电阻R的感应电流由d到b
2．（05年启东）在图甲、乙、丙中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电．设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长．现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是（ B ）
E
C
a
×　　×　　×

×　　×　　×

v0
B
R
b
a
×　　×　　×

×　　×　　×

v0
B
R
b
a
×　　×　　×

×　　×　　×

v0
B
R
b
甲
乙
丙
A．三种情形下导体棒ab最终都做匀速运动
B．甲、丙中，ab棒最终将以不同速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
C．甲、丙中，ab棒最终将以相同速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
D．三种情形下导体棒ab最终都做静止
3．在方向水平的、磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，有两根竖直放置的导体轨道cd、ef，其宽度为1 m，其下端与电动势为12 V、内电阻为1 Ω的电源相接，质量为0.1 kg的金属棒MN的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动，如图所示，除电源内阻外，其他一切电阻不计，g=10 m／s2，从S闭合直到金属棒做匀速直线运动的过程中　　　　　　　　　　　（ CD　 ）　　　　
A．电源所做的功等于金属棒重力势能的增加　　　
B．电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热
C．匀速运动时速度为20 m／s　　　　　　　　　
D．匀速运动时电路中的电流强度大小是2 A
4．如图所示，由一根绝缘导线绕成半径相同的两个小圆组成的“∞”形线圈水平放置，匀强磁场方向与线圈平面垂直．若将磁场的磁感应强度由B增强至2B的过程中有电量Q通过线圈，则下列过程中不能使线圈中通过电量为Q的有 （ B ）
　　A．保持B不变，将线圈平面翻转90°
B．保持B不变，将线圈平面翻转180°
C．保持B不变，将线圈的一个小圆平面翻转180°
D．保持B不变，将线圈拉大成一个大圆
M
P
R
N
Q
C
a
b

5．（05年荆门）放在绝缘水平面上的两条平行导轨MN和PQ之间宽度为L，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，B的方向垂直于导轨平面，导轨左端接有阻值为R的电阻，其它部分电阻不计．导轨右端接一电容为C的电容器，长为2L的金属棒放在导轨上与导轨垂直且接触良好，其a端放在导轨PQ上．现将金属棒以a端为轴，以角速度沿导轨平面顺时针旋转角，如图1所示．求这个过程中通过电阻R的总电量是多少？（设导轨长度比2L长得多）
解析：从ab棒以a端为轴旋转切割磁感线，直到b端脱离导轨的过程中，其感应电动势不断增大，对C不断充电，同时又与R构成回路．
M
P
R
N
Q
C
a
b

D
b’
30°
通过R的电量．
．
根据以上两式得 ．
当ab棒运动到b’时，电容C上所带电量为,
此时，而,
所以．
当ab脱离导轨后，C对R放电，通过R的电量为q’，所以整个过程中通过R的总电量为
．

a
b
y/m
x/m
O
C
A
R1
R2
1.5
3.0
1.0
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×

6．（05年昆明）如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度T，OCA导轨与OA直导轨分别在O点和A点接一阻值和几何尺寸可忽略的定值电阻，导轨OCA的曲线方程为（m）．金属棒ab长1.5米，以速度m/s水平向右匀速运动（b点始终在x轴上）．设金属棒与导轨接触良好，摩擦不计，电路中除了电阻R1和R2外，其余电阻均不计，曲线OCA与x轴之间所围面积约为1.9m2，求：
（1）金属棒在导轨上运动时R1的最大功率；
（2）金属棒在导轨上运动从到m的过程中通过金属棒ab的电量；
（3）金属棒在导轨上运动从到m的过程中，外力必须做多少功？
答案：ab棒等效为电源，R1、R2并联，所以总电阻．
（1）R1的功率．
当时，有R1的最大功率
．
代入数据得W．
（2）将OA分成n份长度为Δx的小段，每一小段中金属棒的有效长度可认为是一定的，设为．由于金属棒向右匀速运动，设金属棒每通过Δx的位移所用的时间为Δt．
金属棒每通过Δx的位移，通过其电量的表达式
，
其中为金属棒每通过Δx的所扫过的有效面积，设为，所以．
金属棒在导轨上运动从到的过程中通过金属棒ab的电量
，
式中S即为题目中曲线OCA与x轴之间所围的面积．
代入数据得C．
（3）因为
所以，ab棒产生的是正弦式交变电流，且V．
由．
得金属棒在导轨上从到的过程中R1、R2产生的热量，
由．代入数据得J．

7．半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感应强度为B=0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环面垂直，其中a＝0.4m，b＝0.6m.金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R0＝2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计.
（1）若棒以v0＝5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径的瞬时，（如图），MN中的电动势和流过灯L1的电流.
（2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环以为轴向上翻转90o，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为，求L1的功率.
答案：（1）棒滑过圆环直径时切割磁感线的有效长度L＝2a，棒中产生的感应电动势为
E＝BLv＝0.2×2×0.4×5V＝0.8V
当不计棒与环的电阻时，直径两端的电压U＝E＝0.8V，所以通过灯L1的电流为
I1＝
（2）右半圆环向上翻转90o后，穿过回路的磁场有效面积变为原来的一半，即＝.
磁场变化时在回路中产生的感应电动势为
＝2×（0.4）2V＝0.32V
由于L1、L2两灯相同，圆环电阻不计，所以每灯的电压均为，L1的功率为
P1＝

8．（05年如东）如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为2L，右边两导轨间的距离为L，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。ab、cd两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab棒的质量为2m，电阻为2r，cd棒的质量为m，电阻为r，其它部分电阻不计。原来两棒均处于静止状态，cd棒在沿导轨向右的水平恒力F作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道。
⑴试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速度各多大？
⑵在达到稳定状态时ab棒产生的热功率多大？
答案：⑴cd棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为I，cd和ab棒分别受到的安培力为F1、F2，速度分别为v1、v2,加速度分别为a1、a2,则

F1=BIL F2=2BIL

开始阶段安培力小，有a1>>a2，cd棒比ab棒加速快得多，随着（v1-2v2）的增大，F1、F2增大，a1减小、a2增大。当 a1=2a2时，（v1-2v2）不变，F1、F2也不变，两棒以不同的加速度匀加速运动。将③式代入可得两棒最终作匀加速运动加速度：

⑵两棒最终处于匀加速运动状态时a1=2a2，代入③式得：
此时ab棒产生的热功率为：