第二课时--函数性质及图象.doc

专题一：集合、函数及其导数、不等式
第二课时 函数的性质和图象 2010-4-16
一、要点回顾
1、了解基本初等函数的性质和图象
（1）能够掌握基本初等函数：、、、、、、、的图象及其性质；
（2）了解复合函数的概念，并将复合函数分解为两个基本初等函数；
2、理解函数的性质：
（1）函数的性质：①单调性；②奇偶性；③周期性；④对称性；⑤最值；⑥反函数；
（2）能够运用函数的性质求函数的值及解决函数相关问题。
3、几种常见的恒等式
（1）函数是周期为的周期函数；
变式：
（2）函数的图象关于直线对称；
（3）函数的图象关于点对称；
4、图象变换的常见类型公式
（1）左右平移：向左平移，向右平移）；
（2）上下平移：（向下平移，向上平移）；
注意：通常将的图象向上下平移之后得到的图象对应的函数写为：，此时表示经过向上平移，而表示经过向下平移。
（3）伸缩变换：①横向伸缩：
②纵向伸缩：；
（4）对称变换：

二、例题导练
考点一：函数求值问题
例1、(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．2
练习1 (2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，
则f（2009）的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
练习2 （2009广东卷理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则
A. B. C. D.
练习3 2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．
（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是
A. 0 B. C. 1 D.
考点二：函数的定义域及值域
例2 （2009江西卷文）函数的定义域为
A．　　　B．　　　C．　　　　D．

练习1 （2009江西卷理）函数的定义域为
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
练习2 设函数则不等式的解集是（ ）
A B
C D
练习3 （2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是
（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）
考点三：考查函数的性质
例3 （2009全国卷Ⅱ文）设则
（A） （B） （C） （D）
练习1 (2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
练习2 （2009浙江文）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上是增函数
B．，在上是减函数
C．，是偶函数
D．，是奇函数
练习3 （2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数
(C) (D) 是奇函数
考点四：考查函数与导数的综合应用
例4 （2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
练习1 （2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或 B．或 C．或 D．或
练习2 （2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
练习3 (2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C
练习4 （2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为
(A) (B) (C) (D) 1
考点五：考查函数的图象
例5 (2009湖南卷理)如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则 [ B]
A B
C D

练习1 （2009安徽卷文）设，函数的图像可能是（ ）

练习2 (（2009重庆卷文）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习3 （2009北京理）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
考点六：函数的实际应用
例6 （2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是
A. 在时刻，甲车在乙车前面
B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在时刻，两车的位置相同
D. 时刻后，乙车在甲车前面
练习1 （2008北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
考点七：函数有关的解答题
例7 (2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.

例8 （湖南卷21）（本小题满分13分）
已知函数f(x)=ln2(1+x)-.
(I) 求函数的单调区间;
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.
求的最大值.
例7 【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点。
例8 解: （Ⅰ）函数的定义域是，

设则
令则
当时， 在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，
函数g(x)在上为减函数.
于是当时，
当x＞0时，
所以，当时，在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时，在上为减函数.
故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.
（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，
设则

由（Ⅰ）知，即
所以于是G(x)在上为减函数.
故函数G（x）在上的最小值为
所以a的最大值为

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