分离变量法——数学物理定解问题PPT课件.ppt

第二章第二章第二章第二章 分离分离分离分离变变变变量法量法量法量法1-2.0 预备知识常微分方程2-二二阶阶常系数常系数线线性方程的性方程的标标准形式准形式2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程3-特征根特征根(1)(1)有两个不相等的有两个不相等的实实根根两个两个线线性无关的特解性无关的特解得得齐齐次方程的通解次方程的通解为为齐齐次方程次方程特征方程特征方程2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程4-(2)有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3)有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程5-2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程6-二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解通解结结构构二阶常系数非齐次线性方程2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程7-2.1 有界弦的自由振动 8-分离分离变变量法是求解偏微分方程最基本和常量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。用的方法。理理论论依据：依据：线线性方程的叠加原理和性方程的叠加原理和Sturm-Sturm-LiouvilleLiouville 理理论论。基本思想：将偏微分方程的求解化基本思想：将偏微分方程的求解化为对为对常常微分方程的求解微分方程的求解2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动9-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动 研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：特点:方程齐次,边界齐次.10-(1)没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为 ;(2)各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x)表示,所以驻波可用 表示。驻驻波的特点：波的特点：端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动11-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动 设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得 由 不恒为零，有：取参数这这个式子的左端是个式子的左端是x的函数的函数,右端是右端是t的函数，何的函数，何时时恒等？恒等？12-.利用边界条件2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动13-则 特征值问题 参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动14-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动由边值条件(i)方程通解为 (ii)时，通解 由边值条件得C1 1=C 2 2=0=0 从而 ，无意无意义义.无意无意义义15-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动 由边值条件从而 即(iii）时，通解 故而得16-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动再求解T：其解为 所以 两端两端固定固定弦本弦本的征的征振振动动叠加.17-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得：定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。18-再求解T：其解为 所以 两端两端固定固定弦本弦本的征的征振振动动叠加.2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动19-将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得：2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。20-（特征（特征值问题值问题）齐齐次次边边界条件界条件（特征函数）（特征函数）分离分离变变量法量法图图解解 2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动21-则无穷级数解为如下混合问题的解上，且 定理定理：若在区间2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动22-弦上各点的频率 和初位相 都相同，因而没有波形的传播现象。弦上各点振幅 因点而异 在 处，振幅永远为0 二、解的物理意二、解的物理意义义 节点腹点特点特点最大振幅最大振幅频频率率初位相初位相在 处，振幅最大,为 nNu(x,t)是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。n1 1的驻波称为基波,n11的驻波叫做n次谐波.2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动23-例例1 1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关.解解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解问题2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动24-因此，所求的解为：=2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动25-解：令 ,得 化简:例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二第二类边类边界条件界条件引入参数 得 2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动26-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动得C1=C 2=0 从而 ，无意义 分离变量：(i)时，由边值条件27-(ii)时,(iii)时,则 而 由边值条件由边值条件从而2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动28-本征值 本征函数 2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动T 的方程其解为 29-所以 故代入初始条件:将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件决定.2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动30-2.2 有限长杆的热传导问题31-例例1 1细杆的热传导问题 长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热,x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为 求此杆的温度分布。解：定解问题为 2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题32-得本征问题 由 及齐次边界条件，有 设 且 并引入参数分离变量代入方程2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题33-当 或 时,当 时,由 得 由 得 故 即 令有函数方程2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题34-由图1看出，函数方程有成对的 无穷多 个实根故本征值为：ry图图 1 12.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题35-2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题对应的本征函数 的方程：解为故 由初始条件得可以证明函数系 在 上正交，在（*）式两端乘以 并在 0,l 上积分,得 且模值36-（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解（三）将特征值代入另一常微分方程，得到（四）将 叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程（方程齐次）分离分离变变量法解量法解题题步步骤骤（边界条件齐次）2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题37-分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注注2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题38-左端点左端点右端点右端点特征特征值值特征函数特征函数 取取值值范范围围 一一 一一一一 二二 二二 二二二二一一课课堂堂练习练习总结总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题39-练习练习：求下列定解求下列定解问题问题的解的解 其中其中2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题40-2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题41-2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题1.矩形域上拉普拉斯方程的矩形域上拉普拉斯方程的边值问题边值问题例例1 1矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板的温度分布。定解问题为：解42-再利用 x=0 和 x=a 处的齐次边界条件得 设 且 代入方程故 本征本征问题问题当 时，2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题43-2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题当 时，将 代入 有解：考虑边界条件（y方向上），有 解得比较系数44-所以解为 作为例子取 ，可求得 于是 2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题45-考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题,设板的上下两面绝热,圆周边界上的温度已知为 求稳恒状态下的温度分布规律。2.圆域上的拉普拉斯方程的边值问题2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题46-采用平面极坐标。令2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题47-分离变量 代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程由 可知，又圆内各点的温度有界，因而 所以应满足条件 2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题48-（二）利用条件,确定特征值问题并求解 得到两个常微分方程的定解问题(1)(2)2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题先求哪一个？先求(1)啊!可以确定特征值啊!为什么？49-1)时，无非零解；特征值特征函数2)时，有非零解3)时，通解以 为周期,必须是整数,2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题50-（三）将特征值代入另一常微分方程，得 得到方程通解 满足有界性条件的通解 将代入方程2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题51-满足周期性条件 和有界性条件的特解为 2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题52-（四）将 叠加,利用边界条件确定系数满足周期性和有界性条件的通解为:利用边界条件，得由此可以确定系数 2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题53-注:经过化简,方程的解可以表示为 称为圆域内的泊松公式.2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题54-2.4 非齐次方程的解法 55-2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法(I)(I)非非齐齐次振次振动动方程定解方程定解问题问题特征函数法56-令其中(1)(2)2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法57-令 为待定函数.并将 按特征函数系展为级数 其中 (3)(4)(1)2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法58-将(3),(4)代入(1)得两端比较将(3)代入初始条件2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法59-常数变易法所以2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法60-例在环形区域 内求解下列定解问题解考虑极坐标变换:2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法61-定解问题可以转化为:相应的齐次问题的特征函数系为:2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法62-于是可以设原问题的解为:代入方程，整理得 2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法63-比较两端 和 的系数可得 2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法64-由边界条件，得 所以 2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法65-由边界条件，可知 满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法66-下面求 .方程的通解为 由端点的条件，得 原问题的解为2.4 2.4 非非齐齐次方程的解法次方程的解法67-2.5 非齐次边界条件的处理 68-2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 处理非齐次边界条件问题的基本原基本原则则是:选取一个辅助函数 ,通过函数之间的代换:使得对新的未知函数 边界条件为齐次的.69-例1振动问题（I）解：取 故要求满足(I)的边界条件，即解得思路:作代换选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 70-代入(I),得 的定解问题(II)令2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 71-如果仍取 的线性函数作为 ，则有 此时除非 ，否则这两式互相矛盾。当x0和x=l 满足第二类边界条件注意：应取2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 72-例 定解问题其中A,B为常数.解:令2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 73-代入方程，得 选 满足 它的解为2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 74-于是 满足的方程为：2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 75-利用分离变量法，求解得 其中从而，原定解问题的解为 2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 76-一.选择适当的坐标系.原则:边界条件的表达式最简单.二.若边界条件是非齐次的,引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三.对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个,其 一是方程齐次,并具有原定解条件的定解问题(分离变量法)；其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解一般的定解一般的定解一般的定解问题问题问题问题的解法的解法的解法的解法2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 77-例例 求下列定解求下列定解问题问题的解的解其中其中 为为常数。常数。解解 1 1）边边界条件界条件齐齐次化，令次化，令 2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 78-于是 满足如下定解问题2）将问题分解为两个定解问题。设2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 79-2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 80-3）求解问题(I),(II)。首先，利用分离变量法求解问题(I)。特征值及相应的特征函数2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 81-则利用初始条件确定系数计算可得2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 82-其次，利用特征函数法求解问题(II)将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开代入问题（II）的方程及初始条件，得2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 83-问题转化为求解下列常微分方程的初值问题解得所以2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 84-4）综合上述结果,得到原问题的解2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 85-对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言,应根据求解区域的形状适当的选取坐标系,使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单,便于求解.例如,对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.注：圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.2.5 2.5 非非齐齐次次边边界条件的界条件的处处理理 86-Sturm-Liouville特征特征值值理理论论正正则则施施图图姆姆-刘刘维维尔尔问题问题 其中其中 不同不同时为时为零，零，不同不同时为时为零，且零，且（1）存在无）存在无穷穷多个多个实实的特征的特征值值，它构成一个，它构成一个递递增数列，且最小特征增数列，且最小特征值值 即即 每个特征每个特征值值 都都对应对应唯一的特征函数唯一的特征函数 ，构成特征函数列，构成特征函数列（2）对应对应于不同特征于不同特征值值和的特征函数关于和的特征函数关于权权函数正交，即函数正交，即（3）任意分段光滑函数都可以按特征函数系展开成广）任意分段光滑函数都可以按特征函数系展开成广义义傅立叶傅立叶级级数，数，87-