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复数型傅里叶级数的讨论

随着计算机计算能力的不断提高,Fourier 级数理论在工程计算和理论研究方面发挥着更重要的作用。数学、物理和力学领域的许多问题,都归结为偏微分方程的边值问题。分离变量法是求解偏微分方程边值问题的重要方法。
傅里叶级数是由余弦和正弦两个简单三角函数组成的级数。它的复数形式与实型式本质上是一样的，但在某些实际问题中，复数形式方便，而且由于三角函数的周期性，它在工程上极广泛地被用解决具有周期性的物理，力学。工程等问题

其中

在上式中，符号“”仅表示三角级数是由于所生成的，并不意味着级数就等于，也不意味着级数是否收敛。
由欧拉公式

将其代入就得到

设，则其共轭复数，上式即可化为

=
=
=
同理，可求出

易见，所以式可化为

=
= 若记，则上式右边三项可统一写为

这就是复数形式的傅里叶级数。其中
傅里叶系数

例1 设
将上展开为复数形式的傅里叶级数
解 因为复数形式的傅里叶系数为

所以

以2为周期的函数的傅里叶级数
设是以2为周期的函数，通过变量置换
或