圆与方程.doc

万源市第三中学高中数学导学案（必修2---圆与方程）
班级_______姓名__________完成情况________
§4.1.1圆的方程
教学目标：
1、正确掌握圆的标准方程及其推导过程.
2、会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及由圆的标准方程熟练地求出圆心和半径;由不同的已知条件求得圆的标准方程.
3、掌握点与圆位置关系的判定.
重点：圆的标准方程的求法及应用.
难点：根据不同的已知条件求圆的标准方程,选择适当的直角坐标系解决与圆有关的问题
一、 研究学习
1、圆的定义:平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为　 　.定点是　 　,定长是圆的　 　.圆心和半径分别确定了圆的位置和大小. 
2、前面我们已经学过直线方程的概念、直线斜率及直线方程的常见表达式,我们知道了关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,那么曲线方程会有怎样的表达式呢?
A
(a,b)
x
O
y
M
r
(x, y)
①建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标；
建立如图示的直角坐标系，圆心的位置用坐标表示;
设圆上任意一点
②列出适合条件的点的集合;
半径的大小等于圆上任意一点与圆心的距离
即：
③用坐标表示，列出方程；
由两点距离公式得 ①
④化方程为最简形式
将①式两边平方，得 （1）

若点在圆上，由前面讨论可知，点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，这就说明点 与圆心的距离是 ，即点在圆心为，半径为的圆上．
我们将方程（1）称为圆心为，半径为的圆的方程，把他叫做圆的标准方程。
3、 参照上述解答过程，求圆心在坐标原点，半径为的圆的方程。

二、 对点讲练
1、求圆的标准方程
例题1：根据下列条件,求圆的标准方程:
(1) 圆心为,半径为5的圆；课本
(2) 圆心为点C(-2,1),并过点A(2,-2)的圆；
(3) 过点(0,1)和点(2,1),半径为的圆；
(4) 的三个顶点坐标分别为求它的外接圆的方程；
(5) 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上，求圆的标准方程
【方法指导】(1)只要确定圆心坐标和半径就可以写出圆的标准方程;(2)不能直接确定圆心坐标时,要使用待定系数法.

【小结】求圆的方程的方法
(1)定义法:直接求出圆心坐标和半径.
(2)待定系数法:
①设圆的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2;
②由条件列方程(组)解得a,b,r的值;
③写出圆的标准方程.
变式训练：
（1） 圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是_________;
（2） 圆心在直线上，经过点的圆的方程;
（3） 求经过点，圆心在轴上的圆的方程；
（4） 已知隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?请说明理由；
（5） 若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,求实数a的值。
（6） 如果实数满足方程求、的最值

2、判断点与圆的位置关系
例题2：已知两点和,求以为直径端点的圆的标准方程,并判断点是在圆上,在圆内,还是在圆外?
【方法指导】判断点与圆的位置关系,可用点到圆心的距离与半径作比较:
若则点在圆内;若,则点在圆上;若,则点在圆外.

【小结】判断点与圆的位置关系,一般用点到圆心的距离与半径作比较,结合两点间距离公式:若则点在圆内;若,则点在圆上;若,则点在圆外。也可以直接判断:若,则点A在圆内;若,则点A在圆上;若,则点A在圆外.
§4.1.2圆的一般方程
教学目标：
1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,掌握方程表示圆的条件,由圆的一般方程确定圆的圆心和半径.
2.能通过配方等手段将圆的一般方程化为圆的标准方程,会用待定系数法求圆的方程.
重点:圆的一般方程的代数特征;一般方程与标准方程间的互化;根据已知条件确定方程中的系数.
难点:点的轨迹方程的求法.
一、研究学习
1、对于方程,配方可得　 　. 
(1)当时,与圆的标准方程作比较,可看出方程表示以　 　为圆心,  　为半径的圆; 
(2)当时,方程只有一个解,______________它表示一个点_________;
(3)当时,方程没有实数解,它不表示任何图形.
2、当时,表示一个圆,叫作　 　. 
3、圆的一般方程的特点:与的系数相同,没有这样的二次项,圆的一般方程中有三个待定系数,因此只要求出这三个系数,圆的方程就明确了;
圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的一般方程也指出了圆心坐标与半径大小,几何特征明显. 
4、 点和圆的关系如下:
(1) 点在圆外⇔ ____________________________;
(2) 点在圆上⇔  　;
(3)点在圆内⇔  　. 
二、对点讲练
1、求圆的一般方程
例题1：下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径。
（1） （2）
（3） （4）
（5）
例题2：求下列圆的方程
（1） 求经过三点的圆的方程;
（2） 求经过两点且在轴上截的弦长等于6的圆的方程；
（3） 等腰梯形的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程；

变式训练1：（1）的三个顶点坐标分别为，求其外接圆方程
(2) 圆C经过点，且在轴上截得的弦长为6，求圆C的方程;
(3) 圆C经过点，且在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程

2、 求动点轨迹方程
（1） 带入法：一般步骤为：①设出动点坐标及已知曲线上的点的坐标；②由题中条件建立与的方程组；③解关于的二元方程组求出
④将带代入已知曲线的方程，化简即得所求动点的轨迹方程.
例题1：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

变式训练：1.已知为坐标原点，在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
2. 已知定点，圆上有个动点,的角平分线交与点，求动点的轨迹.
3. 已知圆上一定点，为圆内一定点,为圆上的动点,(1)求线段中点的轨迹方程;(2)若，求线段中点的轨迹方程.

(2) 直接法:一般步骤为：
①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任意一点坐标为
②几何点集：写出满足题设的点的集合
③翻译列式：将几何条件用坐标表示，写出方程
④化简方程：通过同解变形化简
⑤查漏除杂：检查方程表示的曲线是否由多余的点，曲线上是否有遗漏的点
例题2：已知的边长为，若的中线为定长，求顶点的轨迹方程

3、 综合应用
例题3：已知实数满足方程
（1） 求的最大值和最小值
（2） 求的最小值
（3） 求的最大值和最小值

例题4：已知圆的方程为
（1） 求的取值范围；
（2） 求其中面积最大圆的方程；
（3） 若点恰在圆内，求的取值范围.

§4.2.1直线与圆的位置关系
教学目标：
1.理解直线与圆的位置关系的种类.
2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.
3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
重点:利用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系;直线与圆相交时求解相交弦的问题.
难点:判断直线与圆的位置关系的方法选择.
一、 研究学习
1、 直线的一般方程：____________________点到直线的距离公式___________________
2、 圆的标准方程：__________________________________
3、 圆的一般方程：__________________________________
4、阅读教材126页内容，回答问题（直线与圆的位置关系）
<1>直线与圆的位置关系有几种？分别是什么？

<2>怎样用几何法判断直线与圆的位置关系？
把直线方程化为一般式，求出圆心和半径；
‚利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
ƒ作出判断：,相离；，相切；,相交.
<3>怎样用代数法判断直线与圆的位置关系？
将直线方程与圆的方程联立成方程组；
‚利用消元法得到关于另一个元的一元二次方程；
ƒ求出其判别式的值；④比较与0的大小：>0，相交；=0，相切；<0,相交.
二、 对点讲练
1、 直线与圆的位置关系的判断
例题1：已知直线和圆，请用两种方法判断直线与圆的位置关系；如果相交，求出交点坐标.

变式训练：课本128页，练习3、4题
思考：已知圆，定点，过点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆相切、相交、相离?
2、过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?
(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.
(2)若点在圆上,则过该点的切线只有　一条　,切线方程求法如下: 
①直接法：先求该点与圆心的连线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程.
②设元法：先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.
③公式法：过圆上的一点的切线方程是：
过圆上的一点的切线方程是：
过圆上的一点的切线方程是
(3)若点在圆外,则过该点的切线有　两条　,切线方程求法如下: 
首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.
（4）过圆外一点作圆的切线，则切线长为：

过圆外一点作圆的切线，则切线长为：
例题2：（1）已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程；
（2）过点作圆的切线方程，求切线方程.

变式训练：（1）已知圆经过点，和直线相切，圆心在直线上，求圆的方程；
（2） 过点作圆的切线方程，求切线方程.

3、 直线与圆相交---计算直线被圆截得的弦长的常用方法
（1）几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
.C
A
B
D

R
d

(2)代数法:斜率为的直线交圆于两点运用韦达定理及两点距离公式可得弦长
例题3：（1）已知直线和圆相交与两点，求弦长;
(2) 过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程

变式训练：（1）已知直线和圆相交与两点，求弦长
（2）已知直线被圆所截得的弦长为8，求的值；
(3)已知点为圆内一点，求过点的最短弦所在的直线方程.

4、 直线与圆相交的综合应用
例题4:已知圆，直线
（1） 证明：对，直线与圆总有两个不同的交点；
（2） 设直线与圆交于两点，若,求的值.

例题5：直线与圆相交与两点，若,求的值.

变式训练：（1）已知圆，问是否存在斜率为1的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆经过原点，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由
(2) 直线与圆相交与两点，若,求的值

§4.2.2圆与圆的位置关系
学习目标：
1.理解圆与圆的位置的种类.
2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长(圆心距).
3.会用连心线长判断两圆的位置关系.
重点:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.
难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系.
一、研究学习
1、两点间的距离公式___________________2、圆的标准方程：______________________
3、圆的一般方程：______________________4、直线与圆的位置关系：____________________
5、过圆上的一点的切线方程是：________________________
过圆上的一点的切线方程是：____________________
过圆上的一点的切线方程是:____________________
6、弦长公式：________________________
7、圆与圆的位置关系可分为:　 　、　 　、　 　、　 　、　 　.
8、几何法判断两圆位置关系:设两圆圆心分别为,半径为,
若，则两圆__________; 若，则两圆__________;
若，则两圆__________; 若，则两圆__________;
若，则两圆__________;
9、 代数法判断两圆的位置关系:
设两圆方程分别为和,
若方程组,有两组不同的实数解,则两圆　 　;
若方程组有一组实数解,则两圆　 　 ;
若方程组无实数解,则两圆　 　.代数法无法判断具体是哪种,因此一般不用. 
二、 对点讲练
1、 圆与圆的位置关系
例题1：（1）设圆，圆，试用两种方法判断两圆的位置关系.
（2）求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程

变式训练：（1）判断下列两圆的位置关系.
①
②

【小结】圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论,通常还是从圆心距与两圆半径和、差的关系入手.
2、求公共弦方程及公共弦长问题
（1）两圆相交弦所在的直线方程的求法：
设两圆方程分别为和,建立方程组两式相减得，直线方程：
-----------①

当圆与圆相交时，方程①就是两圆相交弦所在的直线方程；
当圆与圆外切时，方程①就是两圆内切线所在的直线方程；
当圆与圆内切时，方程①就是两圆公切线所在的直线方程；
当圆与圆半径相等时，方程①就是两圆对称轴所在的直线方程；
（2） 公共弦长的求法：
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求得公共弦长；
②几何法：求出公共弦所在的直线方程，利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形及勾股定理求弦长.

例题2：已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

【小结】求解圆与圆相交弦问题,可结合图形,利用弦心距、半弦之间的关系,充分利用圆的几何性质.
变式训练：（1）已知圆，圆求：
①实数取何值时两圆外切；
②实数取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
③若实数，求两圆的公共弦所在的直线方程和公共弦的长.
（2） 已知圆，圆，动圆恒将这两圆的周长平分，求动圆圆心的轨迹方程.

3、 过两圆交点的圆系方程：
设两圆方程分别为和,则方程表示过两圆交点的圆系方程.

§4.2.3直线与圆的方程的应用
学习目标：
1. 理解直线与圆的方程在实际生活中的应用；
2. 理解用坐标法研究几何问题的 基本思想及解题过程；
3. 会用“数形结合”的数学思想解决问题.
重点：直线与圆的方程的应用．
难点：直线与圆的方程的应用时，坐标系的建立、方程的确定
一、 研究学习
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
例题1：下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度，拱高建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度(精确到0.01m).
思考1你能用几何法求支柱的高度吗 ?
思考2建立直角坐标系，那么求支柱的高度，化归为求一个什么问题？
思考3取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？

思考4利用这个圆的方程可求得点的纵坐标是多少？问题2的答案如何？

例题2： 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
思考1许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，
在本题中应如何选取坐标系？
思考2建立如图示直角坐标系，设四边形的四个顶点
分别为点A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，
那么BC边的长为多少？

思考3四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？

思考4如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？

变式训练：1.某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m,水面以上高3m,这
条船能否从桥下通过？
2.如图所示，在半径为1的圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F.求证：EF平分CD.
3.讨论直线与曲线的交点个数.
4.若直线与曲线有公共点，求的取值范围

2015高考真题---直线与圆
1.【2015高考北京，文2】圆心为且过原点的圆的方程是_____________________;
2.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是___________
3.【2015高考湖南，文13】若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=___________.
4.【2015高考安徽，文8】直线3x+4y=b与圆相切，则b=______
5.【2015高考重庆，文12】若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
6.【2015高考湖北，文16】已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且. 则①圆的标准方程为______________________________；
②圆在点处的切线在轴上的截距为_______________.
8.【2015高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.
（I）求k的取值范围；
（II），其中O为坐标原点，求

1. 【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=____________　
2.【2015高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则____________
3.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是__________________________________________
4.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为__________
5.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
6.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

§4.3空间直角坐标系
教学目标：
1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公式.
2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点的位置写出坐标及由坐标描出点的位置.
3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离.
重点:(1)空间直角坐标的构成、画法及点的坐标;(2)空间两点间的距离与中点坐标的计算,并将此与平面直角坐标系中的距离公式,中点公式相比较.
难点:确定点在空间直角坐标系中的坐标.
一、研究学习
1、空间直角坐标系
(1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为轴、轴、轴.这时就说建立了空间直角坐标系,其中点叫作坐标　 　,轴、轴、轴叫作　 　.通过每两个坐标轴的平面叫作　 　,分别称为　 　平面、　 　平面、　 　平面. 
(2)画法:在平面上画空间直角坐标系时,一般使或者
(3)坐标:设点为空间的一个定点,过点分别作垂直于轴、轴、轴的平面,依次交轴、轴、轴点设点在轴、轴、轴上的坐标分别为,那么点就和有序实数组是　一一对应　的关系,有序实数组叫作点在此空间直角坐标系中的坐标,记作　　,其中叫作点的　横坐标　,叫作点的　纵坐标　,叫作点的　竖坐标　. 
(4)说明:本书建立的坐标系都是　右　手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向　　轴的正方向,食指指向　　轴的正方向,如果中指指向　　轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.  
2、空间中任意两点与之间的距离　 . 
二、对点讲练
1、确定空间内点的坐标
例题1：如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AD=3,AB=5,AA1=4,建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标.
　　【方法指导】根据长方体的特征,建立适当的空间直角坐标系,对于特殊点,可直接写出坐标,对于非特殊点,可找出它在坐标平面上的射影以确定其横、纵、竖坐标.

变式训练：（1）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.
（2）如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,棱长为1,求E,F点的坐标.

【小结】(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.

2、空间中两点之间的距离
例题2：如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,求B1E的长.
【方法指导】建立适当的空间直角坐标系,求出点B1、E的坐标,再利用空间两点间的距离公式求B1E的长.

变式训练：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M为BD1的中点,点N在A1C1上,且A1N=3NC1,试求MN的长.

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