平行四边形与勾股定理.doc

四边形与勾股定理
——北师大附校 邹运
一、教学背景
（一）教材分析
《勾股定理》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第十七章的内容。它是几何中几个重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，它将数与形密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用,在现实世界中有着广泛的应用。勾 股定理作为数学学习的重要工具，掌握好本节内容为其他知识内容的学习创造良好的条件。
《平行四边形》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第十八章的内容，是学生在掌握平行线，三角形，全等三角形等有关知识 ，且具备初步的观察，操作等活动经验的基础上出现的。 通过本节的学习使学生清楚地理解各种平行四边形的关系并掌握它们的性质与判断，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力与推理论证能力。本章共分两节，平行四边形和特殊的平行四边形。这两节是本章的重点，知识联系紧密。
（二）学情分析
九年级学生思维活跃，参与意识强，对事物充满好奇心。经过七、八年级的学习，以储备相应的知识基础，具备基本的数形知识，归纳信息的能力；在学习本节内容之前，学生已经准确的了解了勾股定理并能运用它们解决一些数学问题，同时也已具备一定的交流意识和能力。但探究问题的能力有限，对生活的实际问题与勾股定理的联系还不明确，自主学习能力有待加强，而且由于生活经验少，在综合分析事物时，考虑问题可能不会很全面，需要教师引导。
二、教学目标
根据新课标的要求和教材内容以及学生的基础认知水平，我确定以下三个维度的教学目标：
（一）知识与能力：
1、能应用勾股定理解决一些简单的实际问题
2、学会选择适当的教学模型解决实际问题。
3、通过知识的梳理，进一步理解平行四边形和各种特殊的平行四边形的关系并掌握它们的性质与判定。
4、会把各种平行四边形的相关知识进行结构化整理。
(二)过程与方法：
通过解决勾股定理与四边形相关问题的方法，培养学生动手操作、观察、推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力，使学生体会数学来源于生活，又应用于生活，积累利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法。
（三）情感态度与价值观：
1、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
2、在活动中激发学生对数学的“好奇心”与“求知欲”，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验。在数学思考活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯。
三、教学重点、难点分析
因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，学生在应用时常会出现“张冠李戴”的现象，在应用它们的性质与判定的时候，也会常出现用错、多用、少用条件的错误。因此我确定
教学重点：1、平行四边形和各种特殊的平行四边形的性质和判定以及应用；
2、应用勾股定理解决与四边形相关问题是本节课的重点。根据学生已有知识经验，把实际问题划归成勾股定理的几何模型
教学难点：1、平行四边形和各种特殊的平行四边形之间的联系和区别以及如何运用勾股定理解决四边形相关问题。
四、教法和学法
（一）教法：
科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，基于此，我准备采用的教法是以讲解为主、讨论为辅，引导学生探索发现启发相结合。并采用多媒体辅助教学
（二）学法：
注重学生学法指导是当前教学改革的趋势，根据学生原有的知识经验，教学中注重学法指导，运用设疑导学、合作探究和检测反馈等方法，指导学生学会学习，掌握阅读、归纳等学习方法。

五、教学流程
一、课前准备
1、微课：勾股定理的证明及应用
2、制作预习学案：基础知识复习（ppt）+习题应用（题单）
3、制作《勾股定理》《平行四边形》知识小结幻灯片，自己在家完成知识梳理任务
4、制作上课使用幻灯片《四边形与勾股定理》
5、制作上课使用的学案
6、制作课堂检测题单
二、教学实施
教学活动内容：
活动内容
设计意图
一、课程引入
同学们，我们在前面分别学习了《平行四边形》和《勾股定理》的内容，那么这两个章节之间又有哪些联系呢？勾股定理的学习为我们解决四边形的相关问题提供了哪些便利呢？下面，就让我们进入本课的学习，共同开启探究四边形与勾股定理的奇妙之旅吧。

首先，通过回家观看《勾股定理的证明》微课，以及勾股定理和平行四边形的知识小结PPT，同学们应该很好的完成了本节课的预学案，现在以小组为单位，大家交流预习成果，解决预习中没有解决的问题。

由学生们的疑惑入手，提起学生的学习欲望，对本节课的内容充满期待，保持饱满的热情进行本节课的学习。

复习旧知，为本节课学习做准备。
二、巩固提高，互助分享
（1）四边形与勾股定理

例1、如图，一个小正方形的边长是1，则网格图中的四边形周长是_________________.

（2）平行四边形与勾股定理
例：在□ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2√5，则□ABCD的周长为_____________
根据平行四边形的学习顺序，层层递进，有勾股定理与四边形的关系开始本节课的探究活动。
进一步探究勾股定理与平行四边形的关系，锻炼的学生自己画图的能力以及熟练计算的能力。
（3）矩形与勾股定理
1、如图折叠长方形的一边BC，使点B落在AD边的F处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF的长．
A
E
B
C
D
F

1题 2题
2、如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E，AD = 8，AB = 4，则DE的长为 ．

3、如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = .

4、如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 （ ）
A．　　 B．　 C．　　 D．不确定

5.如图，圆柱高，底面半径，蚂蚁从爬到处，要爬行的最短路程（取3）是 。

（4）菱形与勾股定理
1、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为 （ ）
A．㎝ B．㎝ C．㎝ D．3㎝

2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=6，BD=8，过O点作OH⊥AB，垂足为H，则O点到边AB的距离OH=_______

3、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积

（5）正方形与勾股定理
_
7
cm
_
D
_
C
_
B
_
A
1、如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是_______cm2.

A
F
E
C
B
D
2、如图，在正方形ABDC中，E是CD的中点，F为BD上一点，且BF=3FD，试猜想线段AE,EF的位置关系并证明.

勾股定理与矩形的关系最复杂也是中考热点和难点，所以这里设置的图形变换、图形展开以及动点等相关问题，突破学生的学习难点，为中考打下良好的基础。

本题设置一题多解，同学们发散思维，在小组活动探究中，集思广益，共同完成本题多种方法解答的思维过程。

小组交流答案，派代表展示自己的讨论结果，既锻炼了学生小组合作能力，又锻炼了学生的组织和表达能力，有助于学生综合能力的提高。

运用菱形的性质以及勾股定理的计算完成本题的解答。锻炼学生的综合解题的能力。

证明题的出现是为了锻炼学生能够完整并且严谨的证明解题过程。

将正方形与勾股定理逆定理有效的结合起来，使本节课的知识点与练习更加完整，
三、课堂检测：（附题单）
1~4题

及时对学生的学习情况进行检测，能够更好的掌握和了解学生的学习情况。
四、课堂小结
1、本节课你有哪些收获？又有哪些心得体会呢？
2、本节课蕴含了哪些数学思想和方法？
3、常见的折叠图形
三角形中的折叠基本图形
图1

A
C
B
D
C´

矩形中的折叠基本图形

A
B
C
D
E
F
A′
B′

引导学生对本节课所学知识进行梳理和归纳，形成良好的学习习惯。并帮助学习进行一些常规类型的归纳和总结。
五、布置作业
A组：
1、思考题
A
B
有一个盒子如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
2、综合试卷一张
B组：
综合试卷一张（基础部分）
分层布置作业，更叫关注到每一个学生的情况，也能更好的帮助每一个学生的成长。

六、教学评价
1、在教学过程中多关注学生动手操作，独立思考，参与合作，积极交流，倾听他人意见等方面的表现。
2、评价多元化。对学生个人或小组的汇报，结果展示，教师都要及时给予评价与鼓励，学生是课堂的主人。
七、教学反思
本节课，我根据九年级学生的心里特征及其认知规律，采用问题引领下的小组合作探究形式，以教师为主导，学生为主体，导学案为抓手，完成教学。教师的导立足于学生的学 ，放手让学生自主探究，合作交流，使他们主动的参与到知识形成的思维过程中，在积极愉快的氛围中实现人人都能获得必需的数学，和不同人在数学上得到不同程度的发展的教学理念。
本节课的教学设计能较充分体现 “以学生的发展为本” 的教育理念,借助多媒体手段提高课堂教学效率,激发学生的学习兴趣，培养学生自主、合作、互动的能力，有效的解决了教材重点和难点两大问题，达到了预期的教学目的，较好地体现了新课程标准及素质教育的精神。

四边形与勾股定理预学案
——北京师范大学大连普湾附属学校 邹运
一、 知识脉络梳理
平行四边形： 勾股定理：

二、 勾股定理的几种证明方法
阅读参考资料：几种简单证明勾股定理的方法——拼图法、定理法，理解其中蕴含的数学思想并掌握其证明题目所运用到的方法，思路。
三、 观看勾股定理及平行四边形微课程，并认真完成其中的试题。
四、 复习预测、评估
1、若△ABC中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC边上的高。

A
B
C
D
c
b
a

2、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到的位置，连结，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形的面积证明勾股定理：．

3、如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是 cm.

4、如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = .

课 堂 检 测
B
1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短程 ( ∏ 取3)是 ( )
A
A 、20cm B、10cm C、14cm D、无法确定

2、已知四边形ABCD中，AB=BC= 4 ,∠ABC=，∠BAD=,且ΔACD是一个直角三角形，那么AD的长等于

F

第2题 第3题

3、如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,如果将该矩形沿对角BD折叠，那么图中阴
影部分的面积是 。

4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；

(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．

作 业
1、在△ABC中，∠C=90°
(1)若a=5，b=12，则c= ；(2)若，c=4，则b= ；
(3)若a∶b=3∶4，c=15，则a= ，b= ，SRt△ABC=________；
(4)若∠A=30°，BC=2，则AB= ，AC= 。
2、一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则此三角形是____三角形；若此三角形的三边为a、b、c，则此三角形的三边的关系是__________
８cm
B
C
Ａ

Ｎ
M
3、 △ABC中，若，AC=，则∠A= °，AB= ，
S△ABC =
4、如图，由Rt△的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形与正方形的面积之和为　　　　　　cm．
5、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

6、如图，，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，∠B=90°，求证：∠DAB+∠DCB=180°

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出BD的长吗？

8、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A的正南方向260千米B处有一台风中心，沿BC的方向以15千米／时的速度向D移动，已知AD是城市A距台风中心的距离最短，且AD＝100千米，求台风中心经过多长时间从B点移到D点?

9、已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．