通过构造几何图形解题.doc

谈通过构造几何图形解题
高中数学内容多，知识面广，特别是实行新课程教材后，高中教学不仅要全面推行素质教育，注重学生能力的培养，而且要参加高考。高考对知识的深度和难度有一定要求，而新教材的一个重要特点是与高等数学的知识接轨，对学生的创新和想象能力有所挑战。这里笔者谈谈如何运用构造几何图形来解题。
例1：一个四面体共用一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为1，■，3，且四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解析：四面体abcd，a点出发的三条棱ab、ac、ad两两垂直，求其外接球的表面积，需求外接球的半径，就要找球心o，直接做难度很大。我们要抓住a点出发的三条棱ab、ac、ad两两垂直，可以把这个四面体放在一个长方体中，所以可以构造一个长方体abed－cfgh,那么，四面体abcd的外接球即构造的长方体的外接球，所以这个外接球的直径为长方体的体对角线，设半径为r，2r=ag，ag2=1+6+9=16,所以这个球的表面积s＝4пr2=16п。
例2：设正四面体abcd棱长为■，求外接球的体积。
解析：求正四面体外接球的体积，需求外接球的半径，球心在正四面体的高线上，可以通过计算得到，但较麻烦，速度慢。我们可以通过构造一个正方体来解决，如上图2（2），在正方体中，连接a、b、c、d四个顶点，根据正方体的面对角线都相等，得到abcd正四面体，abcd正四面体和构造的正方体有共同的外接球，只需求正方体外接球的体积。由正四面体的棱长为■，可知构造的正方体的棱长为1，那么正方体的体对角线为■，设外接球的半径为r,2r=■,r=■,所以v=■пr3=■п。
例3：设f（x）=■a,b∈r，且a≠b。求证：|f（a）-f（b）|b，∵f（a）=■,f（b）=■,如图3构造三角形：构造如图的rt△oap，其中op=1,oa=a,ob=b,显然，pa=■=f（a）,pb=■=f（b）,ab=a-b，在△pab中，有|pa-pb|　　 例4：如图4（1），在三棱锥p-abc中，若pa=bc=2■,pb=ac=10,pc=ab=2■，求三棱锥p-abc的体积。
解析：直接去算难度比较大，但换个角度，若仔细观察已知条件，注意到三棱锥的三组对边两两相等，我们就可以通过整体补形构造图形，将p-abc三棱锥放到一个特定的长方体中，从而来解决问题。
构造长方体aebg-fpdc，易知三棱锥p-abc的各边分别是长方体的对角线，不妨令ep=x，eb=y,ea=z，则由已知条件得x2+y2=100x2+z2=136y2+z2=164，故x=6y=8z=10，从而
vp-abc=vaebg-fpdc-vp-aeb-vc-abg-vb-pdc-va-fpc=vaebg-fpdc-4vp-aeb=6×8×10-4×■×6×8×10=160。
构造几何图形就是补形，或把题中的图形置于另外的图形中，或把代数问题转化为几何图形。如何构造图形，构造什么样的图形，要根据题中已知条件的特点，思维活跃，善于创新，勇于开拓，结合学过的图形，展开丰富的空间想象，构造的图形应该比较常规，比较特殊，比较常见，便于计算。