四川省绵阳市南山中学实验校区2010年自主招生考试数学试题(含答案).doc

四川省绵阳南山中学实验校区2010年自主招生考试
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1.已知x是1的相反数，则x的绝对值为（ ）
A.1 B.-1 C.2010 D.-2010
2.2009年8月，台风“莫拉克”给台湾海峡两岸人民带来了严重灾难，台湾当局领导人马英九在追掉“八八水灾”遇难民众和救灾殉职人员的大会的致辞中说道，大陆同胞捐款金额约50亿新台币，是台湾接到的最大一笔捐款，展现了两岸人民血浓于水的情感。50亿新台币折合人民币约11亿多元，若设1.1=m,则11亿这个数可表示为（ ）
A.9m B.m9 C.m×109 D. m×1010
3.下列四个多项式：①；②；③；④，其中能用平方差公式分解因式的有（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
4.已知x=2是一元二次方程x2＋mx＋2=0的一个解，则m的值是（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．0或3
5.某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖）．
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低气温
1℃
－1℃
2℃
0℃
■
■
1℃
被遮盖的两个数据依次是( )
A．3℃，2 B．3℃， C．2℃，2 D．2℃，
6. 在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ）
A
B
C
O
正方体

长方体

圆柱

圆锥

A.
B.
C.
D.

（第7题图）

7.如图，A、B、C是⊙O上的三点，OC是⊙O的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．75° B．72° C．70° D．65°
8.因为，，所以；
因为，，所以，
由此猜想、推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）
A． B． C． D．
9.用一把带有刻度的直角尺，①可以画出两条平行的直线与b，如图⑴；②可以画出∠AOB的平分线OP，如图⑵所示；③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑶所示；④可以量出一个圆的半径，如图⑷所示．这四种说法正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

x
D
y
O
2.5
A
1
B
x
y
O
2.5
1
C
x
y
O
2.5
1
x
y
O
2.5
1
10.已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）

11.如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，将△折叠，使点与点重合，为折痕，则的值是( )
A. B. C. D.
B
A
C
（第11题图）
F
E
D
第12题图
B
A
C
F
E
D

12. 已知x、y、z是三个非负实数，满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，则S的最大值与最小值的和为（　 　）
A.5 B.6 C.7 D.8

第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题4分，共24分. 请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
13.计算：=
14.口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 .
15.若圆锥的母线长为４cm，其侧面展开图的面积，则圆锥底面半径为 cm．
16. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是___________（填序号）
①13 = 3＋10 ②25 = 9＋16 ③36 = 15＋21 ④49 = 18＋31
4=1+3 9=3+6 16=6+10
第16题图
…

17. 如图，点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是___________．
A
B
C
D

（第17题图）
（第18题图）

18. 如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为a，AC + BD = 10，当AC、BD的长等于 时，则四边形ABCD的面积最大是 。
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19.（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
（1）计算：

（2）先化简，再选择一个合适的x值代入求值：．

20.（本题满分12分）某小区共有5000个家庭，为了了解辖区居民的住房情况，居民委员会随机调查了本辖区内一定数量的家庭的住房面积，并将调查的资料绘制成直方图和扇形图.
0
140

100

30
家庭数∕户
（中含右端点，不含左端点）
40~70m2
70~100m2
100~130m2
130~160m2
>160m2
≤40m2
6％

14.8％
a
22.4％

b
12.8％

请你根据以上不完整的直方图和扇形图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共调查了多少个家庭的住房面积？扇形图中的、的值分别是多少？
（2）补全频数分布直方图；
（3）被调查的家庭中，在未来5年内，计划购买第二套住房的家庭统计如下表：
住房面积（）

0

根据这次调查，估计本小区在未来的5年内，共有多少个家庭计划购买第二套住房？

21.（本题满分12分）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造。根据预算，共需资金1575万元。改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担。若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元。请你通过计算求出有几种改造方案？

22.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，以 为一边作正方形，再以为直径的半圆．设轴交半圆于点，交边于点．
（1）求线段的长；
（2）连接，试判断直线与⊙的位置关系，并说明你的理由；

（3）直线上是否存在着点，使得以为圆心、为半径的圆，既与轴相切又与⊙外切？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由．

23. （本题满分12分）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为（0°＜＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；
图3
D
M
N
B
A
P
A2
M2
F2
F
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？
图1
C
D
M
A
B
F
E
图2
D
M
K
F
A
B
B1
D1

24. （本题满分12分）定义为函数的 “特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是,函数的“特征数”是
（1）将“特征数”是的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ；
（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与轴交于A、B两点，与直线 分别交于D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状,请说明理由并计算其周长．
（3）若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值范围？

25. （本题满分14分）如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A(0，2)，过直线EA上的两点F、G分别作轴的垂线段，垂足分别为M(m，0)和N(n，0)，其中m＜0，n＞0．
(1)如果m＝－4，n＝1，试判断△AMN的形状；
(2)如果mn＝－4，(1)中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
(3)如图2，题目中的条件不变，如果mn＝，并且ON＝4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
(4)在(3)的条件下，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．
l
(图2)
(图1)
N
M
E
F
P
G
B
A
x
O
y
y
N
M
F
E
O
G
x
A

参考答案

一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1. A 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A 11.A 12.A
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题4分，共24分. 请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
13. 14. 15. 3 16. ③ 17. 18. 5
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19. 解：(1)原式=…4分 =………6分 =…8分
（2）原式=…2分
===．6分
取x = 0，则原式=－1．…………8分
（注：x可取除±1，±外的任意实数，计算正确均可得分）
20. 解：（1）500；…2分 a=20%…3分 b=24%…4分 (2) 图略。…………8分 （3）86 …12分
21．解：(1) 设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元
依题意得 ………4分
解之得 ……6分
(2) 设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6-x）所，
依题意得： …………………8分
解得 1≤x≤4…………………9分
∵ x取整数 ∴x=1，2，3，4.即共有4种方案。…………………10分
答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元。 …………………………………………12分
22. 解：（1）连接，

（2）（解法一）
∵
∴∽
∴

N
Q
M
∴相切
（解法二）连接，
在中，
在中，
在中，
∴
（3）连接，∵⊙与⊙外切 ∴
过作轴于，交于
∵⊙与轴相切
∴ ∴
∵∽
∴
（另解：直线所对应的函数关系式为，
设，代入得，即，从而）
在中，

解得，(不符合题意，舍去) ∴ 12分
23．解：（1）． 1分
延长交于点，
由题意得：． ∴，． 2分
又∵， ∴，
∴，∴． 3分
（2）的度数为60°或15°（答对一个得2分） 7分
（3）由题意得矩形．设，则，
在中，∵，
∴，∴．
∵，，∴．
D
M
N
B
A
P
A2
M2
F2
F
∴．
∵，∴．
∵，∴． 9分
∴．…10分
∴，解得．…11分 即．
答：平移的距离是cm．…12分 （其它方法可参照此答案给分）
24.解:（1）………………………1分
（2）由题意可知向下平移两个单位得
∴AD//BC，AB=2．
∵，∴AB//CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．………………………3分
得C点坐标为（，0），
∴D
由勾股定理可得BC=2
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2
∴四边形ABCD为菱形．………………5分
∴周长为8…………………6分
（3）二次函数为：，化为顶点式为：
∴二次函数的图像不会经过点B和点C.
设二次函数的图像与四边形有公共部分，当二次函数的图像经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，解得，（不合题意,舍去） ………8分
当二次函数的图像经过点D时，将D，代入二次函数，解得，（不合题意,舍去）…………10分
所以实数b的取值范围：……12分
25.(1)△AMN是直角三角形. …… 1分
依题意得OA＝2，OM＝4，ON＝1，∴MN＝OM＋ON＝4＋1＝5
在Rt△AOM中，AM＝＝＝
在Rt△AON中，AN＝＝＝ ∴MN 2＝AM 2 +AN 2
∴△AMN是直角三角形 (解法不惟一) ……3分
(2)答：(1)中的结论还成立. ……4分
依题意得OA＝2，OM＝－m，ON＝n
∴MN＝OM＋ON＝n－m∴MN 2＝(n－m) 2＝n 2－2mn＋m 2
∵mn＝－4 ∴MN 2＝n 2－2×(－4)＋m 2＝n 2＋m 2＋8
又∵在Rt△AOM中，AM＝＝＝
在Rt△AON中，AN＝＝＝
∴AM 2＋AN 2＝4＋m 2＋4＋n 2＝n 2＋m 2＋8
∴MN 2＝AM 2＋AN 2 ∴△AMN是直角三角形. (解法不惟一) … 6分
(3) ∵mn＝－4，n＝4，∴.
方法一：设抛物线的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c.
∵抛物线经过点M(－1，0)、 N(4，0)和A(0，2)

∴所求抛物线的函数关系式为y＝－x2＋x＋2. …………8分
方法二：设抛物线的函数关系式为y＝a (x＋1) (x－4)．
∵抛物线经过点A(0，2)∴－4a＝2解得a＝－
∴所求抛物线的函数关系式为y＝－(x＋1) (x－4)即y＝－x2＋x＋2 .
(4) 抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，
∵l⊥MN，∠ANM＝∠PN Q1，∴Rt△PN Q1∽Rt△ANM
∵抛物线的对称轴为x＝，∴Q1(，0) ………………10分
∴NQ1＝4－＝.………………11分
过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2.
∴Rt△P Q2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似
∴
即Q1Q2＝ …………12分
∵点Q2位于第四象限，∴Q2(，)…………13分
因此，符合条件的点有两个，
分别是Q1(，0)，Q2(，).…………14分(解法不惟一)　

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