河南省沁阳市2013届高三一模考前训练数学(理)试题(一).doc

沁阳市2013年高三一模考前训练题
理科数学（一）
说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．
全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，答案填涂在答题卷相应位置上．）
1．已知集合U=R，集合，集合，则等于
A． B． C． D．
2．在复平面内复数，对应的点分别为A、B，若点C为线段AB的中点，则点C
对应的复数是
A．1 B． C．i D．i
3设等比数列{}的公比q＝2，前n项和为，则的值为
A． B． C． D．
4．设函数f（x）＝（x＋）－（x＋）（x∈R），则函数f（x）是
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
5．若，则有
A． B．
C． D．

6．三棱椎A－BCD的三视图为如图所示的三个直角三角形，
则三棱锥A－BCD的表面积为
A．2＋2 B．4＋4
C． D．4＋

7．如果双曲线（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
9．某学校对高一新生的体重进行了抽样调查，右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36人，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是
A．90 B．75 C．60 D．45
10．已知函数的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数t的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

11．已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）,f（x）在区间（0，2]上只有一个最大值和一个最小值，则实数ω的取值范围为
A．[，）B．[，π） C．[，） D．[，]

12．过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置上．)
13．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .

14． 甲、乙两名同学从四门选修课程中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为____________．
15．如果内接于单位圆，且，则面积的最大值为
16.关于x的方程＝k有四个不同的实根，则实数k的取值范围为_____________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤写在答题卷相应位置上．）
17．（本小题满分12分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）令设数列的前项和．
若对恒成立求的取值范围。

18．（本小题满分12分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABC是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点.

20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.

21．（本小题满分12分）
函数,,其中a为常数,且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
(Ⅰ)求此平行线的距离；
(Ⅱ)若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于．

选考题（从下列两道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分． 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
选修4-1：几何证明选讲
A
C
E
B
P
D
O
•
如图，是⊙的直径，是⊙的切线，与的延长线交于点，为切点．若，，的平分线与和⊙分别交于点、，求的值．

23. (本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线（为参数）．
（Ⅰ）将的方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点是曲线上的动点，求的取值范围．

24. (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围。
沁阳市2013年高三一模考前训练题
理科数学（一）答案
一．选择题
CBAAC AADAC AC
二.填空题
13. 15 14. 15. 16.
三.解答题
17. 解：（1）由已知得
解得．设数列的公比为，由，可得．
又，可知，即，
解得．由题意得．
．故数列的通项为．
（2）由于
由（1）得
又是等差数列．

故．

所以
所以

18.解：（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为
（II）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为

（III）(万元)
(万元)
所以应该生产甲品牌汽车。

19．解：（1）证明：证明：如图连接AC、OM，因为ABCD为菱形，所以点O为
AC的中点，又M为PC的中点，所以
在中，
所以

20. 解：（Ⅰ）∵
∵直线相切，
∴ ∴
∵椭圆C1的方程是
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为
（Ⅲ）Q（0，0），设
∴
∵
∴
∵，化简得
∴
∴
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是
21. 解：（Ⅰ），，的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即
又∵，∴。
∴，，∴函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：,∴两平行切线间的距离为 。
（Ⅱ）由得，故在有解，
令，则。当时，；
当时，∵，∵，
∴，∴
故
即在区间上单调递减，故，∴
即实数m的取值范围为 。
（Ⅲ）解法一：
∵函数和的偏差为：，
∴，设为的解，则当，；
当，，∴在单调递减，在单调递增
故，∴
又，故∴ ，
即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于。
解法二：
由于函数和的偏差：，
令，；令，
∵，，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增
∴，，∴
即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。

22.证明：连结，，，，
，．
又 与⊙相切于点，，
A
C
E
B
P
D
O
•
∽，．
为⊙的直径，，
．
可解得，．
又平分，，
又，∽，

23.

24.解：（Ⅰ），
① 若，则，，舍去．
② 若，则，．
③ 若，则，．
综上，不等式的解集为．
（Ⅱ）设，则
，
，．