极坐标系(袁志军).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二,极坐标系,2.,平面直角坐标系中的点,P,与坐标,(,a,b,),是,_,对应的,.,P,(,a,b,),.,x,y,O,a,b,温故知新,平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系,.,有时用别的坐标系比较方便,.,还有什么坐标系呢？,1.,与角,终边相同的角：,=,+2,k,k,Z,一一,思考：,右图是某校园的平面示意图，假设某同学,在教学楼处，请回答下列问题：,（,1）他向东偏北60,方向走,120m,后到达什么位置？,该位置惟一确定吗？,（,2,）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？,A,B,C,D,E,50,m,45,0,60,0,120m,60,m,教学楼,体育馆,实验楼,办公楼,图书馆,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？,从这向东走,60,米 ！,出发点,方向,距离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用,方向,和,距离,表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想,.,思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样,建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？,1,、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点,O,，叫做,极点,.,从极点,O,点引一条射线,OX,，叫做,极轴,.,再选定一个,单位长度,和,角的正方向,（通常取逆时针方向）,.,这样就建立了一个,平面极坐标系，,简称,极坐标系,.,X,O,2,、极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点,M,用,表示线段,OM,的长度,用,表示以射线,OX,为始边,射线,OM,为终边所成的角,叫做点,M,的,极径,叫做点,M,的,极角,有序数对,(,),就叫做,M,的,极坐标,，记作,M,(,),.,X,O,M,特别规定,：,当点,M,为极点时，它的极坐标,为,_,(,0,),可为任意值,.,一般地，不作特殊说明时，认为,0，,可取任意实数,.,例,1,、如图，写出各点的极坐标：,。,O,x,A,B,C,D,E,F,G,A(4,0),B(3,),4,C(2,),2,D(5,),5,6,E(4.5,),F(6,),4,3,G(7,),5,3,1,例,2,、在极坐标系中描下列各点：,。,O,x,1,A,B,C,D,E,F,3.,用点,A,B,C,D,E,分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,.,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标,.,A,B,C,D,E,50,m,45,0,60,0,120m,60,m,解,:,以点,A,为极点,AB,所在,的射线为极轴,(,单位长,度为,1 m),建立极坐标系,.,则点,A,B,C,D,E,的极坐 标分别为,(,O,),x,平面上一点的极坐标是否唯一？,若不唯一，那有多少种表示方法？,坐标不唯一是由谁引起的？,同一点,不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况,本题点,M,的极坐标统一表达式：,极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况,(1),给定（,）,在,极坐标,平面内确定可唯一的一点,M,(2),给定平面上一点,M,，但却有无数个极坐标与之对应,原因在于：,极角有无数个,一般地,若,(,),是一点的极坐标,则,(,+2,k,),都可以作为它的极坐标,.,如果限定,0,0,2,那么除极点外,平面内的,点,和,极坐标,就可以,一一对应,了,.,特别强调：,一般情况下（若不作特别说明时），认为,0.,或,3.,极坐标与直角坐标的互化,1.,极点与直角坐标系的原点重合,;,2.,极轴与直角坐标系的,x,轴的正半轴重合,;,3.,两种坐标系的单位长度相同,.,互化关系式,O,x,y,x,y,当点不在第一象限内时，是否还成立？,原理是什么？,互化前提,互化练习,极坐标系与直角坐标系的异同,相同点：,两者都通过一对有序实数对表示平面上的点,.,不同点：,(,x,y,),与两坐标轴的距离有关,;,而,(,),与极轴出发的角和极点的距离有关,在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合,(,x,y,)|,x,、,y,R,一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合,(,)|,、,R,不是一一对应的（,(,),与,(,+2k,),表示同一个点）,若规定,0,，,0,2),，可使极坐标与平面内的点一一对应,(,极点除外,),建立一个极坐标系需要哪些要素,?,极点；极轴；长度单位；,角度单位和它的正方向,极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？,无数，极角有无数个,一点的极坐标有否统一的表达式？,有，,(,，,2,k,+),极坐标与直角坐标的互化,课堂小结,思考,:,极坐标系中,点,M,的坐标为,(-10,),则下列各,坐标中,不是,M,点的坐标的是,(),3,课后思考,A,B,C,D,2.,边长为,a,的正六边形,OABCDE,在极坐标系中,的位置如图所示，求这个正六边形各顶点,的极坐标。,A,B,C,x,E,D,O,解：,O,(0,0),，,C(2,a,0),变式,:,在极坐标系中,若等边三角形的两顶点,是,A(2,),B(2,),那么顶点,C,的坐标可能是,(),4,、负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值,.,对于点,M,（,，）,负极径时的规定：,1,作射线,OP,，使,XOP=,2,在,OP,的反向延长,线上取一点,M,，,使,OM=,O,X,P,M,O,X,P,=/4,M,四,、,2,、负极径的实例,在极坐标系中画出点,M,（,3,，,/4,）,的位置,1,作射线,OP,，使,XOP=/4,2,在,OP,的反向延长线上取一点,M,，使,OM=3,说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：,四、,3,、关于负极径的思考,“,负极径”真是“负”的？,根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？,把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？,？,四、,4,、正、负极径时，点的确定过程比较,O,X,P,O,X,P,1,作射线,OP,，使,XOP=/4,2,在,OP,的反向延长线上取一点,M,，使,OM=3,1,作射线,OP,，使,XOP=/4,2,在,OP,的上取一点,M,，使,OM=3,M,画出点（,3,，,/4,）,和（,3,，,/4,）,给定,在极坐标系中描点的方法：,先按极角,找到,极径所在的射线,，后,按极径的正负和数值,在这条射线或其反向延长线上描点。,M,四、,5,、负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线,OP“,反向延长,”。,O,X,P,M,O,X,P,M,而反向延长也可以看成是旋转,，,因此，所谓“负极径”实质是,管方向,的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。,负极径小结：,极径变为负,，,极角增加,。,练习：写出点 的负极径的极坐标,（,6,，,）,答：（,6,，,+,）,或（,6,，,+,）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为,0,。因为负极径只在极少数情况用。,五、极坐标系下点的极坐标,O,X,P,M,探索点,M,（,3,，,/4,）的,所有极坐标,1,极径是正的时候：,2,极径是负的时候：,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1,给定（,）,就可以在,极坐标,平面内确定唯一的一点,M,。,2,给定平面上一点,M,，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,O,X,P,M,(,),一般地,若,(,),是一点的极坐标,则,(,+2,k,),、,+(2,k+1),都可以作为它的极坐标,.,如果,限定,0,0,2,或,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以,一一对应,了,.,2.,在极坐标系中,与,(,),关于极轴对称的点是,(),A.(,)B.(,),C.(,)D.(,),C,D,题组三,1.,在极坐标系中，与点,(,3,),重合的点是,(),A.(3,)B.(,3,),C.(3,)D.(,3,),3.,在极坐标系中,与点,(,8,),关于极点对称的点 的一个坐标是,(),A.(8,)B.(8,),C.(,8,)D.(,8,),A,3,一点的极坐标有否统一的表达式？,小结,1,建立一个极坐标系需要哪些要素,极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。,2,极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？,无数，极径有正有负；极角有无数个。,有。（,，,2,k,+,）,。,O,x,1,A,B,C,D,E,F,若,极角取负值,，则上例中的,A,，,B,，,C,，,D,，,E,，,F,的极坐标又可以表示为,O,x,),|,|,M,(,),O,x,例如,:M(,-,2,),5,6,),5,6,作射线,OP,，使,x,OP=,M(,-,2,),5,6,P,在射线,OP,的反向延长线上取一点,M,，使,|OM|=|,|,当极径,0,时，点,M,(,),的位置按如下规则确定：,。,O,x,4,2,5,6,5,4,5,3,11,6,2,3,3,2,A,B,C,D,E,1,3,、点的极坐标的表达式的研究,X,O,M,如图：,OM,的长度为,4,，,请说出点,M,的极坐标的表达式？,(,),(,-,+,),(,2k,+),(,-,+(2k+1),),小结,表示同一点的极坐标,.,4,、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1,给定（,）,就可以在,极坐标,平面内确定,唯一,的一点,M,2,给定平面上一点,M,，但却有,无数,个极坐标与之对应,O,X,P,M,(,),3,如果,规定,0,0,2,或,-,那么,除极点,外,平面内的点和极坐标就可以,一一对应,了,.,关于极坐标系的进一步思考,直角坐标系中，横坐标为,1,的点构成怎样的图形？纵坐标为,4,的点构成怎样的图形？,极坐标系中，极径为,5,的点构成怎样的图形？,极角为 的动点,A,构成怎样的图形？极角为 的动点,B,构成怎样的图形？,有没有办法让,B,点的极角为？即改变一下方向？,拓展：负极径的定义,在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值,.,当 时，点 的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使 ，在OP的反向延长线上取一点M，使 ，点M就是坐标为 的点,.,O,M,x,说出图中当极径取负值时各点的极坐标,完成课本,12,页,13,题,关于负极径的深入理解,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线,OP“,反向延长”,.,而,反向延长,也可以,看成是旋转,，因此，所谓“负极径”实质是管方向的，这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”,.,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为,0,，因为负极径只在极少数情况用,.,1,极径是正的时候：,2,极径是负的时候：,以庆阳路为,X,轴,以静宁路为,Y,轴,.,请问：,去省政府怎么走？,精神病！,从这向北,走,1200,米,.,请问：,去省政府怎么走？,