误差理论习题11.doc

“误差分析和数据处理”习题及解答

1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？
（1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。
答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。

2．将下列数据舍入到小数点后3位：
3.14159； 2.71729； 4.510150； 3.21650； 5.6235； 7.691499。
答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为：
3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。

3．下述说法正确否？为什么？
（1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即

（2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm及10.54 cm，因此测量误差为0.01 cm。
答：（1）错。等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。被测物（质量为m）放在左边，右边用砝码（质量为mr）使之平衡，ml1 = mrl2，即

当l1 = l2时，m = mr。当l1 ≠ l2时，若我们仍以mr作为m的质量就会在测量结果中出现系统误差。为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，mll1 = ml2，即

将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得

这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。
（2）错。有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。

4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。
称量次序
晶体质量（mi）
误差（Δi）
Δi2
1
0.73829
0.00003
9×10-10
2
0.73821
−0.00005
25×10-10
3
0.73827
0.00001
1×10-10
4
0.73828
0.00002
4×10-10
5
0.73825
−0.00001
1×10-10
Σi
3.69130
0.00012
40×10-10
解：平均质量
平均误差
标准误差

5．测定某样品的重量和体积的平均结果W = 10.287 g，V = 2.319 mL，它们的标准误差分别为0.008 g和0.006 mL，求此样品的密度。
解：密度
间接测量结果（乘除运算）的相对标准误差：

测量结果表示为：ρ = (4.436 ± 0.012) g·mL-1

6．在629 K测定HI的解离度α时得到下列数据：
0.1914， 0.1953， 01968， 0.1956， 0.1937，
0.1949， 0.1948， 0.1954， 0.1947， 0.1938。
解离度α与平衡常数K的关系为：
2HI == H2 + I2

试求在629 K时的平衡常数及其标准误差。
解：略去可疑值0.1914后，α的平均值 = 0.1950，平均误差 = ±0.00069，标准误差 σα = ±0.0009 （因 |0.1914−| > 4||，故可疑值0.1914可以舍弃）。

7．物质的摩尔折射度R，可按下式计算：

已知苯的摩尔质量M = 78.08 g·mol-1，密度d = 0.879±0.001 g·cm-3，折光率n = 1.498±0.002，试求苯的摩尔折射度及其标准误差。
解：

8．乙胺在不同温度下的蒸气压如下：
t/℃
−13.9
−10.4
−5.6
0.9
5.8
11.5
16.2
p/ mmHg
183.0
234.0
281.8
371.5
481.3
595.7
750.5
T
259.25
262.75
267.55
274.05
278.95
284.65
289.35

3.8573
3.8059
3.7376
3.6490
3.5849
3.5131
3.4560
lgp
2.2624
2.3692
2.4499
2.5700
2.6824
2.7750
2.8754
试绘出p—t及lgp—关系曲线，并求出乙胺的蒸气压与温度的关系式。
解：作图如下：

从上图所作直线上任意取两个端点，如（3.400, 2.950）、（4.000, 2.060），得直线方程为：
（和电脑作图所得方程 一致）。

9．计算下列某物理量重复测定值的平均值及平均偏差。
（1） 20.20； 20.24； 20.25
（2） ρ(g·cm-3) 0.8786； 0.8787； 0.8782
（3） 当ρ的准确值为0.8790 g·cm-3时，求上述ρ的绝对误差和相对误差。
解：（1）

（2）
（3） 绝对误差为：0.8785 − 0.8790 = −0.0005 (g·cm-3)
相对误差为：

10．在不同温度下测得偶氮异丙烷分解速率常数，其分解反应式和数据结果如下：
C3H7NNC3H7 == C6H14 + N2

0.001776
0.001808
0.001842
0.001876
0.001912
k
0.00771
0.00392
0.00192
0.00100
0.00046
lnk
−4.865
−5.542
−6.255
−6.908
−7.684
（1）试用直线化法作图验证k与T间的关系，可用下列指数函数式表示：
（2）求出A、E值，并写出完整的方程式。
解：（1）将方程改写为 ，作lnk—图如下：

所得图形为一直线，得证。
（2）由图可得，斜率 ，截距 lnA = 31.710
故 E = 1.713×105 J·mol-1，A = 5.91×1013
k与T间的方程式为：

11．某次用光电比色法测得光透过Cu(NH3)42+水溶液时的结果如下：
c(ppm, Cu2+)
0
5
10
15
20
25
30
35
R(Ma)
50.0
46.8
43.7
40.9
38.0
35.3
30.8
25.1
lgR
1.699
1.670
1.640
1.612
1.580
1.548
1.488
1.400
若lgR随c的变化成线性关系，可用下式表示：lgR = a − bc
试用最小二乘法求出上式中a和b的值。
解：最小二乘法的根据是在有限次测量中最佳结果应使标准误差最小，也即使残差的平方和为最小，即：
使 Δ 为最小的必要条件为：

由此即可求得a和b。
为此，先列出各个残差如下：
实验次数
δi = a − bci − lgRi
ciδi = ci(a − bci − lgRi)
1
a − 0×b − 1.699
0×(a − 0×b − 1.699)
2
a − 5×b − 1.670
5×(a − 5×b − 1.670)
3
a − 10×b − 1.640
10×(a − 10×b − 1.640)
4
a − 15×b − 1.612
15×(a − 15×b − 1.612)
5
a − 20×b − 1.580
20×(a − 20×b − 1.580)
6
a − 25×b − 1.548
25×(a − 25×b − 1.548)
7
a − 30×b − 1.488
30×(a − 30×b − 1.488)
8
a − 35×b − 1.400
35×(a − 35×b − 1.400)
∑i
8a − 140×b − 12.637
140a − 3500×b − 212.87
得方程：8a − 140×b − 12.637 = 0
140a − 3500×b − 212.87 = 0
解得： a = 1.718
b = 0.00788
附电脑作图所得直线及其方程：

12．在不同温度下测得氨基甲酸铵的分解反应
NH2COONH4(s) == 2NH3(g) + CO2(g)
的数据如下：
T/ K
298
303
308
313
318
323
lgKp
−3.638
−3.150
−2.717
−2.294
−1.877
−1.450
1/T
0.003356
0.003300
0.003247
0.003195
0.003145
0.003096
试用最小二乘法求出方程 ，由此求平均等压反应热效应ΔH。
解：令 c =，设 lgKp = a − bc，列出各个残差如下：
实验次数
δi = a − bci − lgKp,i
ciδi = ci(a − bci − lgKp,i)
1
a − 0.003356×b + 3.638
0.003356×(a − 0.003356×b + 3.638)
2
a − 0.003300×b + 3.150
0.003300×(a − 0.003300×b + 3.150)
3
a − 0.003247×b + 2.717
0.003247×(a − 0.003247×b + 2.717)
4
a − 0.003195×b + 2.294
0.003195×(a − 0.003195×b + 2.294)
5
a − 0.003145×b + 1.877
0.003145×(a − 0.003145×b + 1.877)
6
a − 0.003096×b + 1.450
0.003096×(a − 0.003096×b + 1.450)
∑i
6a − 0.019339×b + 15.126
0.019339a − 0.00006238×b + 0.049147
得方程：6a − 0.019339×b + 15.126 = 0
0.019339a − 0.00006238×b + 0.049147 = 0
解得： a = 24.36
b = 8340
比较平衡常数与温度的关系： 或
可得：
即 ΔH = 1.5967×105 J·mol-1
附电脑作图所得直线及其方程：