高三文科数学028.doc

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期数： 0511 SXG3 028
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇二十一 高三文科数学总复习十六
——数列及其通项公式

【学法引导】
本部分是数列的基础知识，考查仍将以选择题，填空题为主. 用归纳法写出一个数列的通项公式，能培养学生的观察、分析和解决问题的能力，应引起重视.
【基础知识概要】
1．数列的概念
按一定次序排列的一列数叫做数列.
从实质上看，数列是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当变量从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为，…，，…，简记为.其中表示数列的通项.
2．数列的通项公式
一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫这个数列的通项公式.
对于通项公式，应该注意以下几点：（1）并不是所有的数列都能写出它的通项公式；（2）同一个数列的通项公式不一定是唯一的；（3）仅由数列的前几项可以归纳出多种“通项公式”；（4）对某些数列，通项公式可用分段形式表达，如 也可合并写成
.
3．数列的表示法
从函数的观点看，数列的表示法有如下三种：
（1）解析法：解析法可分为通项公式法和递推法两种；
（2）列表法：数列可以看作是用列表法给出的—列函数值；
（3）图象法：数列可以用图形（一群孤立的点）来表示.
4．数列的前n项和，记作，明确与的关系如下：

【应用举例】
例1　写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数:
（1）2，5，10，17，……
（2）9，99，999，9999，……
（3）2，，，，……
（4），，，，……
解：（1）各项分别减去1，变为1，4，9，16，……
故.
（2）各项分别加上1，变为10，100，1000，10000，……，
故.
（3）使各项的分子都为4，变为，……
再把各分母分别加上1，又变为，……，
∴.
（4）各项的分母分别为，……，
容易算出2、3、4项的分子分别为分母少3，因此把第一项变为，至此原数列可化为 ，……，
∴.
评析：如果数列的通项的构成不易直接求出，可先分析部分，再考虑整体，掌握一些基本数列的通项公式，有利于求出所给数列的通项公式.
例2　已知数列满足，写出此数列的前5项.
解：∵，
∴，
.
评析：已知数列的递推关系，求数列某些项，只需用具体的项数代替n，化简即可.
例3　写出数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，……的一个通项公式.
解：由，可知当n为奇数时，；
由，可知当n为偶数时，，故

评析：函数可以分段形式表示，数列作为特殊的函数，其通项公式当然也可表示成分段函数的形式；当然，也可以用统一的形式，例如：
. 但不如用分段的形式表示简洁.
例4　已知数列的前n项和，
（1）写出该数列的前三项及通项公式；
（2）判断31是否在该数列中；
（3）确定何时有最小值，最小值是多少？
解：（1）；
，
当时，

（2）当时，
令，得，故31是数列中的第24项.
（3），因此，当时，有最小值-56.

【强化训练】
一、选择题
1．已知数列的通项公式是，则它的前三项是（ ）
　A．　　　B．　　　C．　　　　D．
2．数列2，6，12，20，……的一个通项公式可能是（ ）
　A．　 B．　　　C．　　　D．以上都不是
3．在数列1，,3，，，……中，是数列的（ ）
　A．第11项　　　　 B．第12项　　　　 C．第13项　　　　 D．第10项
4．已知数列的通项公式为，那么0.98（ ）
A．是这个数列的第6项　　　　 B．不是这个数列的项
C．是这个数列的第10项 D．是这个数列的第7项
5．已知数列的首项，且，则等于（ ）
A．7　　　　 B．5　　　　 C．31　　　 　 D．42
二、填空题
6．数列，…的一个通项公式是　　　　　.
7．数列1，1，2，2，3，3，…的一个通项公式是　　　　　.
8．在数列1×3，2×4，3×5，…，n（n＋2），…中，120是第　　　项.
9．已知数列满足，且，则　　　　，　　　　.
10．数列的通项公式是，则是此数列的第 项.
三、解答题
11．已知数列的通项公式为，求证：此数列为递增数列.
12．设函数，数列满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）判断数列的单调性.

参考答案
一、1．D 2．B 3．B 4．D 5．C
二、6．. 7．
8．10 9． 2或－3; 1或6. 10．9
三、11．解：∵，
∴，∴数列是递增数列.
12．解：（1）由已知，得，
∴，整理得 ，
∴
（2）∵，且，
∴，∴数列是递增数列.