模糊集的基本运算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二,章,模糊集的基本运算,一,.,模糊集的表示方法,模糊集合是论域,X,到,0,1,的映射,因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外,还有以下的表示方法：,1),序偶表示法,A,=(,x,A,(,x,)|,x,X,.,例如,:,用集合,X,=,x,1,x,2,x,3,x,4,表示某学生宿舍中的四位男同学,“,帅哥,”,是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度,(,“,帅度,”,),做的评价依次为,:,0.55,0.78,0.91,0.56,则以此评价构成的模糊集合,A,记为,:,A,=(,x,1,0.55),(,x,2,0.78),(,x,3,0.91),(,x,4,0.56).,2),向量表示,法,当,论域,X,=,x,1,x,2,x,n,时,X,上的模糊集,A,可表示为,向量,A,=(,A,(,x,1,),A,(,x,2,),A,(,x,n,).,模糊,集,“,帅哥,”,A,可记为,:,A,=(0.55,0.78,0.91,0.56).,向量的每个,分量都在,0,与,1,之间,称之为,模糊向量,。,3,）,Zadeh,表示,法,当论域为,有限集,x,1,x,2,x,n,时,模糊,集合可表示为,A,=,A,(,x,1,)/,x,1,+,A,(,x,2,)/,x,2,+,A,(,x,n,)/,x,n,.,注意,这里仅仅是借用了算术符号,+,和,/,并不表示分数和运算,而只是描述,A,中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。,对于任意论域,X,中的模糊集合,A,可记为,:,模糊集,“,年轻,”,A,可表示为,注意：当论域明确的情况下,在序偶和,Zadeh,表示法中,隶属度为,0,的项可以不写出。而在向量表示法中,应该写出全部分量。,例如,论域,X,为,1,到,10,的所有正整数,模糊集,“,近似于,5,”,A,可表示为：,或,或,二,.,典型的隶属函数,构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”,即参考一些典型的隶属函数,通过选择适当的参数,或通过拟合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。,下面介绍典型隶属函数。,1.,偏小型,降半矩形分布,降半,形分布,降半正态分布,降半柯西分布,降半梯形分布,降岭形分布。,2.,偏大型,升半矩形分布，升半,形分布，升半正态分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升岭形分布。,“,年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布,其中取,a,=1/5,b,=25,c,=2.“,年老”模糊集合的隶属函数为升半柯西分布,其中取,a,=1/5,b,=50,c,=2.,3.,中间型,(,对称型,),矩形分布,尖,形分布,正态分布,柯西分布,梯形分布,岭形分布。,三,.,模糊集上的运算,几,点说明,经典,集合可用特征函数完全刻画,因而经典集合可看成模糊集的特例,(,即隶属函数只取,0,1,两个值的模糊集,),。,设,X,为非空论域,X,上的全体模糊集记作,F,(,X,).,于是,P,(,X,),F,(,X,),这里,P,(,X,),为,X,的幂集,(,即,X,的全体子集构成的集合,).,特别,地,空集的隶属函数恒为,0,全集,X,的隶属函数恒为,1,即、,X,都是,X,上的模糊集。,2.,模糊集的包含关系,设,X,为非空论域,A,B,为,X,上的两个经典集合。,A,B,当且仅当属于,A,的元素都属于,B,.,易证,A,B,当且仅当对任意,x,X,有,C,A,(,x,),C,B,(,x,).,X,1,X,1,定义,设,X,为非空论域,A,B,为,X,上的两个模糊集合。称,A,包含于,B,(,记作,A,B,),如果对任意,x,X,有,A,(,x,),B,(,x,).,这时也称,A,为,B,的子集。,X,1,A,(,x,),B,(,x,),例,论域,X,=,x,1,x,2,x,3,x,4,时,X,上的模糊集,A,为,:,A,=(0.55,0.78,0.91,0.56).,X,上的模糊集,B,为,:,B,=(0.35,0.52,0.65,0.37).,则根据定义有,B,A,.,帅哥,超男,定义,论域,X,上的模糊集,A,与,B,称为是相等的,如果,A,B,且,B,A,即对任意,x,X,有,A,(,x,)=,B,(,x,).,3.,模糊集的并,设,X,为非空论域,A,B,为,X,上的两个经典集合。,A,B,=,x,X|x,A,或,x,B,.,易证,C,A,B,(,x,)=max,C,A,(,x,),C,B,(,x,)=,C,A,(,x,),C,B,(,x,).,X,1,X,1,定义,设,X,为非空论域,A,B,为,X,上的两个模糊集合。,A,与,B,的并,(,记作,A,B,),是,X,上的一个模糊集,其隶属函数为,(,A,B,)(,x,)=max,A,(,x,),B,(,x,)=,A,(,x,),B,(,x,),x,X,.,(,A,B,)(,x,),4.,模糊集的交,定义,非空论域,X,上的两个模糊集合,A,与,B,的交,(,记作,A,B,),是,X,上的一个模糊集,其隶属函数为,(,A,B,)(,x,)=min,A,(,x,),B,(,x,)=,A,(,x,),B,(,x,),x,X,.,(,A,B,)(,x,),5.,模糊集的补,定义,非空论域,X,上的一个模糊集合,A,的补,(,记作,A,或,A,C,),X,上的一个模糊集,其隶属函数为,A,(,x,)=1,A,(,x,),x,X,.,注：,两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形,即对任意指标集,I,若,A,i,是,X,上的模糊集,i,I,.,则模糊集的,(,任意,),并、,(,任意,),交定义为,:,例,设论域,X,=,x,1,x,2,x,3,x,4,为一个,4,人集合,X,上的模糊集合,A,表示“高个子”,:,A,=(,x,1,0.6),(,x,2,0.5),(,x,3,1),(,x,4,0.4).,模糊集合,B,表示“胖子”,:,B,=(,x,1,0.5),(,x,2,0.6),(,x,3,0.3),(,x,4,0.4).,则模糊集合“高或胖”为,:,A,B,=(,x,1,0.60.5),(,x,2,0.50.6),(,x,3,10.3),(,x,4,0.40.4),=(,x,1,0.6),(,x,2,0.6),(,x,3,1),(,x,4,0.4).,模糊集合“又高又胖”为,:,A,B,=(,x,1,0.5),(,x,2,0.5),(,x,3,0.3),(,x,4,0.4).,模糊集合“个子不高”为,:,A,=(,x,1,0.4),(,x,2,0.5),(,x,3,0),(,x,4,0.6).,四,.,模糊集的运算性质,1.,经典集合的运算性质,经典集合关于并、交、补运算具有以下性质,:,设,X,为论域,A,B,C,为,X,上的经典集合,则,(1),幂等律,:,A,A,=,A,A,A,=,A,;,(2),交换律,:,A,B,=,B,A,A,B,=,B,A,;,(3),结合律,:(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),(,A,B,),C,=,A,(,B,C,);,(4),吸收律,:,A,(,A,B,)=,A,A,(,A,B,)=,A,;,(5),分配律,:,A,(,B,C,)=(,A,B,),(,A,C,),A,(,B,C,)=(,A,B,),(,A,C,);,(6),对合律,(,复原律,):(,A,)=,A,;,(7),两极律,(,同一律,):,A,X,=,A,A,X=X,A,=,A,=A,;,(8)De Morgan,对偶律,:(,A,B,)=,A,B,(,A,B,)=,A,B,;,(9),排中律,(,互补律,):,A,A,=X,A,A,=.,注：,满足上述前四条规律的代数系统称为格,(,可诱导出一个序,A,B,A,B,=,A,A,B,=,B,),。,满足以上,9,条性质的代数系统称为布尔代数,(Boolean algebra,即“有补的有界分配格”,.,2.,模糊集合的运算性质,定理,设,X,为论域,A,B,C,为,X,上的模糊集合,则,(1),幂等律,:,A,A,=,A,A,A,=,A,;,(2),交换律,:,A,B,=,B,A,A,B,=,B,A,;,(3),结合律,:(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),(,A,B,),C,=,A,(,B,C,);,(4),吸收律,:,A,(,A,B,)=,A,A,(,A,B,)=,A,;,(5),分配律,:,A,(,B,C,)=(,A,B,),(,A,C,),A,(,B,C,)=(,A,B,),(,A,C,);,(6),对合律,(,复原律,):(,A,)=,A,;,(7),两极律,(,同一律,):,A,X,=,A,A,X=X,A,=,A,=A,;,(8)De Morgan,对偶律,:(,A,B,)=,A,B,(,A,B,)=,A,B,.,证明,De Morgan,对偶律,:,对任意,x,X,由于,(,A,B,)(,x,)=1(,A,B,)(,x,),=1(,A,(,x,),B,(,x,),=(1,A,(,x,),(1,B,(,x,),=,A,(,x,),B,(,x,),=(,A,B,)(,x,).,所以,(,A,B,)=,A,B,.,同理可证,(,A,B,)=,A,B,.,注：,模糊集中互补律不成立,(,参见下面的反例,).,满足以上,8,条性质的代数系统称为,De Margan,代数,也称为软代数,(soft algebra).,反例,设论域,X,=,a,b,上的模糊集,A,=(,a,0.6),(,b,0.3).,则,A,=(,a,0.4),(,b,0.7).,从而,A,A,=(,a,0.6),(,b,0.7),X,A,A,=(,a,0.4),(,b,0.3),.,五,.,L,型模糊集,本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上,并研究这类广义模糊集合及其性质。,1.,偏序集与格,定义,称,(,P,),为偏序集,若,P,上的二元关系满足以下三个条件,:,(1),自反性,:,a,P,a,a,;,(2),反对称性,:,a,b,且,b,a,a,=,b,;,(3),传递性,:,a,b,且,b,c,a,c,.,对于偏序集,(,P,),如果对于任意,a,b,P,总有,a,b,或,b,a,成立,则称,P,为线性序集或全序集。,设,(,P,),为偏序集,若存在,a,P,使得对任意,b,P,都有,a,b,则称,a,为,P,的,最小元,。若存在,a,P,使得对任意,b,P,都有,b,a,则称,a,为,P,的,最大元,。,易知,如果偏序集有最小元或最大元,则最小元或最大元是惟一的。为此,记,0,为最小元素,1,为最大元素。,设,(,P,),为偏序集,X,P,若存在,a,P,使得对任意,x,X,都有,x,a,则称,a,为,X,的,上界,。如果,X,的上界集合有最小元素,则称它为,X,的最小上界或,上确界,记为,sup,X,或,X,.,对偶地,可以定义,下界,、最大下界或,下确界,(,记为,inf,X,或,X,),。,定义,偏序集,(,L,),称为格,如果,a,b,P,上确界,a,b,与下确界,a,b,都存在。,任意子集都有上、下确界的格称为,完备格,。,上、下确界运算满足分配律的格称为,分配格,这里分配律指有限分配律。,定理,设,(,L,),为格,则上、下确界运算满足,:,(1),幂等律,:,a,a,=,a,a,a,=,a,;,(2),交换律,:,a,b,=,b,a,a,b,=,b,a,;,(3),结合律,:(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),(,a,b,),c,=,a,(,b,c,);,(4),吸收律,:,a,(,a,b,)=,a,a,(,a,b,)=,a,.,定理,设代数系统,(,L,),中的二元运算,满足,:,幂等律,:,a,a,=,a,a,a,=,a,;,交换律,:,a,b,=,b,a,a,b,=,b,a,;,结合律,:(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),(,a,b,),c,=,a,(,b,c,);,吸收律,:,a,(,a,b,)=,a,a,(,a,b,)=,a,.,则,:(1,),a,b,=,a,a,b,=,b,;,(2),在,L,中定义二元关系如下,a,b,a,b,=,a,.,那么,(,L,),是格,且,是这个格,(,L,),的上、下确界运算。,2.Boole,代数与,De Morgan,代数,定义,设,L,是有界分配格,0,1,分别是其最大元和最小元。对任意,a,L,若存在,a,L,使得,a,a,=1,a,a,=0,则称,L,为布尔代数。,定义,设,P,是偏序集,h,:,P,P,是映射。如果当,a,b,时恒有,h,(,a,),h,(,b,),则称,h,为保序映射。如果当,a,b,时恒有,h,(,b,),h,(,a,),则称,h,为逆序映射。如果逆序映射,h,满足对合律,h,(,h,(,a,)=,a,则,h,称为,逆序对合对应,或,逆合映射,也称,h,为,伪补,。,定义,设,L,是有界分配格,h,:,L,L,是,L,上的一元运算且满足,(1),h,(,h,(,a,)=,a,(2),h,(,a,b,)=,h,(,a,),h,(,b,),h,(,a,b,)=,h,(,a,),h,(,b,).,则称,L,为,De Morgan,代数,。,易知,De Morgan,代数中,h,是逆合映射。,设,X,为非空集合,则幂集格,(,P,(,X,),c,),为布尔代数,而,X,上的模糊集全体构成的格,(,F,(,X,),c,),为,De Morgan,代数。,布尔代数是,De Morgan,代数,反之不真。,3.,L,型模糊集及其运算,定义,设,X,为论域,(,经典集合,),L,是一个有逆合映射,(,伪补,),h,的格。则映射,A,:,X,L,称为集合,X,上的,L,型模糊集合。,记,F,L,(,X,)=,A,|,A,:,X,L,为,L,型模糊集合,.,设,A,B,F,L,(,X,),若,x,X,有,A,(,x,),B,(,x,),则称,A,含于,B,记为,A,B.,易知,(,F,L,(,X,),),为偏序集。可分别定义并、交、补如下,:,(,A,B,)(,x,)=,A,(,x,),B,(,x,),(,A,B,)(,x,)=,A,(,x,),B,(,x,),。,A,c,(,x,)=,h,(,A,(,x,).,容易验证：如果,L,是分配格,(,完备格,),则,F,L,(,X,),也是分配格,(,完备格,),。如果,L,是,De Morgan,代数,则,F,L,(,X,),也,De Morgan,代数。,例,设,L,=,a,b,|,a,b,a,b,0,1.,a,b,c,d,L,规定,a,b,c,d,a,c,b,d,.,则,L,是完备格,且如下定义的映射,h,:,L,L,h,(,a,b,)=1,b,1,a,是,L,上的伪补。于是,A,:,X,L,是,L,型模糊集,这种模糊集在区间分析中是十分有用的。,4.,区间值模糊集,许多情况下很难用一个确切的数值来表达一个对象隶属于一个模糊概念的程度。经验告诉我们,用一个数值范围来描述某点对一个模糊概念的相关程度会相对容易一些,这就产生了区间值模糊集。,X,1,A,-,(x),A,+,(x),