资源描述
2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案
课题：等比数列的前项和（第一课时）
教材：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）
（人民教育出版社）
授课教师：成都市第十八中学校 陈华
一、教材分析
● 教学内容
《等比数列的前项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．
● 地位与作用
《等比数列的前项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．
二、学情分析
● 知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.
● 认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．
● 任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．
三、目标分析
依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
1.教学目标
● 知识与技能目标
理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．
● 过程与方法目标
通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．
● 情感、态度与价值目标
通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.
2.教学重点、难点
● 重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用．
突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公
式推导→公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线：观察能力→初步解决问题能力.
● 难点：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用．
突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
四、教学模式与教法、学法
教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导．
学生的学法：突出探究、发现与交流．
五、教学过程分析
（一）教学环节
创设情景
提出问题
（4分钟）
类比探索
形成公式
（20分钟）
公式应用
培养能力
（11分钟）
解决问题
前呼后应
（2分钟）
归纳总结
加深理解
（3分钟）
延伸拓展
发散思维
（5分钟）
(二) 教学过程
教学环节
教学内容
学生活动
设计意图
一、复习旧知，铺垫新知：
【教师提问】
（1） 等比数列定义及通项公式？
（2）等比数列的项之间有何特点？
学生：回忆回答问题（1）
和（2）．
设计意图：引导学生发现等比数列各项之间的特点：从第二项起每一项比前一项多乘以，从而为用“错位相减法”求等比数列前项和埋下伏笔．
创设情境
提
出
问题
类比探索
形成公式
类比探索
形成公式
深入探索
形成公式
深入探索
形成公式
公
式
运
用
培养能力
公
式
运
用
培养能力
延
伸
拓
展
发 散 思 维
总 结 归 纳
加 深 理 解
解决情景问题
前呼后应
分层作业强化知识
二、问题情境，引出课题：
【多媒体动画演示】
话说灰太狼想在森林里开一个公司，但苦于资金有限，于是准备去找喜羊羊投资，喜羊羊一口答应“行，从今天开始我连续60天往你的公司注入资金，第一天投资10000元，第二天投资20000元，第三天投资30000元，总之以后每天都比上一天多投资10000元，但作为回报，在投资的第一天起你必须返还我1元钱，第二天返还我2元钱……即后一天返还的钱数为前一天的两倍,60天后我们两清．”
灰太狼一听，两眼一转，心里越想越美……．
【教师提问】
（1） 灰太狼占大便宜了吗？
（2） 怎么求②式？（用追问的方式引出课题）
①式学生会化简求和，对②式学生知道是等比数列前项和的问题但却不知怎样化简计算！
探究一：如何求和
【教师提问】
（1）能否逐一相加得结果？
（2）那有什么简单方法？
引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减少了项.那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？
通过学生回答：
① 指出法一实质就是利用了，但此法不具备一般性，如果把上式中数字2换为3或其它的数则不行了．
②指出法二和法三的共同点就是充分利用了等比数列项之间的特点 构造式子，通过两式运算来解决问题．而这就是本堂课我要给大家介绍的一种很重要的求和方法——错位相减法，在此处先不着急介绍“错位相减法”的要点，只让学生有个大致印象，在后面应用中再来强调．
接着教师再顺势引导学生将问题一般化，类比联想解决问题．
探究二：
【教师提问】
设等比数列的首项为
注意：①学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少学生会想到“错位相减法”，此时教师可放手让学生自主探究、讨论，并请学生发言．
② ②将写成： ，两边同时乘以公比后会得到：，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后用多媒体给予突出强调，加深印象！
③根据前面探究一不少学生也想到两边同时乘以后两式作差得结果．这时我顺势引导：用错位相减法构造等式时两边除乘以，还可以乘其他的数，例如乘原则是构造的式子能和原式相减、相消后剩余的项较少，较易计算，所以可视其情况确定乘什么数，一般情况是乘以公比．
④两等式作差得到：
时，肯定会有学生直接得到，我先不着急指出错误，看有没有同学可以主动发现，若没有学生发现这个问题，稍后再用一个反馈练习比如：剖析这个易错知识点，进而更好掌握公式的本质！同时还要引导学生反思出现此问题的原因．
⑤引导学生根据等比数列的通项公式，进一步完善等比数列的前项和公式：
剖析公式结构特征，并强调该求和公式中有5个量，知任意3个通过解方程（组）都可以求另
外2个的方程思想．
探究三：课后探索
【教师提问】
推导等比数列的前项和公式，还有其它方法吗？
应用1.判断正误：
1）
2)
3)
教师点评：
应用公式时注意（1）要准确的表示求和公式中的每个量，（2）含参数列求和代公式前要先判断是否为等比数列的求和，是等比数列求
和再分，合理选用公式．
应用2. ，
教师首先让学生独立思考，自主解题，再请学生展示他们的不同的解法，同学间进行评价，然后师生共同总结解上述题的方法，法（1）基本量法，准确分析求和公式中五个量：，利用解方程（组）知三可求二．(2）从等比数列本身的性质出发，从整体的角度来分析解题．
求和：
本题采用弹性教学设计的方式，根据实际上课情况来考虑是在课堂上解决还是教师先作一个初步的分析，让学生在课后自主探索.
引导学生分析式子（1）的结构特征？（2）介绍差比数列的概念.（3）引导学生思考能否用今天探究的求和法来求这种差比数列的前项和.
引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总结．
本环节由学生自主归纳、总结，教师加以补充、强调．
【多媒体动画演示】
最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出灰太狼要付出的钱为（元 ）这是喜羊羊付出钱的6亿多倍，显然很不合算.
巩固作业：
1、课本P143 习题3.5 （1、3、5）
创新作业:
2、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？
学生：观看多媒体动画，回答问题．
学生：要知道灰太狼是否占便宜？就需要计算出喜羊羊、灰太狼各自付出的钱数并比较它们的大小．
喜羊羊：
10000+20000++600000①
灰太狼：
②
学生：
回忆等差数列求和的重要方法——倒序相加法，回忆倒序相加法的本质.
学生讨论发言
法一：连锁反应：
根据得：
法二:
生：两式相减得
法三：
两式相减得
学生讨论发言
学生一：
两边同乘以公比后会得到：
这样之后，下面的等式就和上面的式子有了很多的相同项，
此时两个式子相减后就只剩下第一个式子的首项和第二个式子的末项，且第二个式子末项的符号改变了．
两等式作差得到：
（学生易忽略对=1的讨论）
纠错后学生自己得到：等比数列的前项和的公式应为：
学生二：
两边同时乘以后会得
然后两式作差得到：
学生根据等比数列的通项公式自己推导公式、完善公式．
学生课后自己探索
学生课后自主探索推导等比数列前项和公式的其它方法.
学生：自主思考、回答问题．
（1）正确．
（2）错，原因是公比应该为-2
（3）错，原因是的次数应该是项数，应该是．
( 4) 错，原因是没有分类讨论，应该分 讨论．
学生：
变式1.
法一：相当于知道首项
为
法二：可以由
学生：
学生：
（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的探究方法．
（2）体会等比数列前项和公式的基本元表示方法、错位相减的算法、分类讨论的数学方法，及方程思想、化归思想，整体变换的思想.
（3）掌握等比数列的求和公式及简单应用．
学生：观看有趣的多媒体动画在欢笑声中解决了问题．.
学生：自主完成作业.
设计意图：
情境动画的引入让引出课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点．
（时间：4分钟）
设计意图：留出时间让学生充分地思考、讨论.用错位相减法推导等比数列前项和公式的关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿下功夫，让学生经过思考讨论，教师引导类比倒序相加求和的本质，运用数学中重要的转化思想，通过构造法发现上述解法，让学生在探索过程中，充分感受到成功的乐趣，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时这也是培养学生辩证思维能力的良好契机．
（时间：9分钟）
设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．
设计意图：学生的错误教师不立即指出，让学生体验：自己推导出公式（不完整）——公式应用──得出矛盾──完整公式这个过程，让学生在矛盾中感悟，在参与和笑声中牢牢地记住了公式，从而掌握公式的本质．而讨论两边除了同乘外还可以乘其他什么数，是为了揭示错位相减的关键，即构造相同项相减、相消．
（时间：11分钟）
设计意图：由于本节课的重点、难点在于用错位相减法推导公式，所以这个问题留于学生课后探索，下节课再来展示，通过课后对不同推导方法的研究，可以使学生从不同的思维角度掌握等比数列前项和公式．它源于课本，又高于课本， 是优秀学生研究性学习和拓展学习的极佳资源 ．
设计意图：剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，同时也培养学生分类讨论的数学思想．
（时间：3分钟）
设计意图：本练习由书中的例题及例题的改编而组成，采用变式教学设计题组，深化学生对公式的再认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、进一步渗透求和公式中五个量知三求二的方程思想，促进学生新的数学认知结构的形成，而一题多解，又培养学生的发散性思维．通过以上形式，让全体学生都参与教学，使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动求索，从而有利于提高思维的灵活性和梯度并以此培养学生的参与意识和竞争意识．
（时间：8分钟）
设计意图：一方面引导学生思考满足什么样的条件就可以用错位相减法，使用错位相减法的步骤及关键所在，进一步揭示方法的本质，回归方法、提炼方法．另一方面此内容为下节课的教学做好铺垫，而采用弹性教学的设计方式，更大限度的提高了课堂教学的针对性、实效性、灵活性 ．
（时间：5分钟）
设计意图：一方面，培养学生自我归纳、总结的能力，另一方面，把知识的归纳进一步延伸到方法思想的提炼，提高了学生数学素养和文化水平.
（时间：3分钟）
设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，前呼后应.
（时间：2分钟）
设计意图：作业进一步巩固了本节课知识，拓展了学生数学视野，而巩固作业和创新作业两种设计体现了不同的人在数学上得到不同的发展的新课标教学理念.
板书设计
3.5等比数列的前项和
一、公式的推导
错位相减法
（主板书）
二、公式的应用：
1.(1)判定 (2)选用公式
2.(1)基本量法
(2)整体思想
三、延伸拓展
差比数列求和——错位相减法
四、课堂小结
(副板书)
学生议练活动
(辅助性板书)
六、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：
（1） 在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.
（2） 本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．
（3） 本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．
（4） 本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.
（5） 在推导等比数列前项公式过程中，大多数学生忽略了对=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.
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