通用轴承优化设计方法.doc

一、 通用轴承优化设计方法
滚动轴承是广泛应用于各类机械中的基础件。轴承的好坏直接影响到机械产品的质量，而轴承的质量与轴承的设计、材料、加工工艺等密切相关，其中轴承的设计起着至关重要的作用。良好的设计是保证轴承具有长寿命、高可靠性和优良性能的重要基础。对于不同用途的轴承如滚动轴承，滑动轴承、静压轴承等，优化设计的目标函数也不相同的，作为通用标准的滚动轴承，其优化设计的目标函数基本类似，大都是追求最长的疲劳寿命，即额定动载荷为最大，优化设计可采用单目标函数的方法，也可采用双目标或多目标函数的方法。对于特殊用途的轴承，则应将特殊的使用条件作为目标函数来进行优化设计，设计出满足用户要求的轴承。
过去人们采用传统的设计方法，凭借经验、图表和类比的办法，借助有限的人工计算次数，得到有限的设计方案，而确定出的设计结果却不能令人满意。而今，随着科学技术的发展、数学规划理论进一步完善以及计算机的普及、机械设计方法与技术水平的提高、科技成果的不断丰富，使得轴承设计技术有了极大的发展，产生了如优化设计技术、计算机辅助设计（CAD)、可靠性设计、仿真设计技术等，这些新技术的推广、对加速轴承产品的开发与应用，改变轴承工业的面貌将会起到非常重要的作用。
1.1 优化设计概念
人们做任何事情都希望用最少的付出得到最佳的效果，这就是优化问题。工程设计中，设计者更是力求寻求一种合理的设计参数，以使得由这组设计参数确定的设计方案满足各种设计要求，又使其技术经济指标达到最佳，即实现优化设计。但是常规的工程设计，由于设计手段和设计方法的限制，设计者不可能在一次设计中得到多个方案，也不可能进行多方案的分析比较，更不可能得到最佳的设计方案。因此，人们只能在漫长的设计生产过程中，通过不断地搜索与改进，逐步使设计方案趋于完善。
所谓优化设计，就是借助优化设计、数值计算方法和计算机技术，求取工程问题的优化设计方案。进行优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组由数学表达式组成的设计参数。这组设计参数就是设计的最优解。
1.2 优化设计特点
优化设计过程都是在计算机上完成的，与传统的设计方法相比较，虽然采用同一个基本理论，使用同样的设计公式，遵守同样的设计规范，但因采用计算方法和计算工具不同，而具有如下特点。
1.2.1 设计思想是最优设计
传统的设计只是以达到规定的设计要求为止，它只是一个可行方案。而优化设计是以达到最优指标为目的，它是许多可行方案中的最优方案。
1.2.2 设计的计算工具是计算机
由于优化设计的工具是用计算机进行的，因此，不但可以采用较精确的数学模型和分析方法，而且使分析的范围（变量的数目与范围）扩大。计算速度快，设计周期短。
1.2.3 设计的方法是最优化方法
优化设计用的方法是最优化方法，方案的调整是计算机按照最优化方法沿着改善方案的方向自动进行。直至选出最优方案。
因此，优化设计是保证产品具有良好的性能，提高产品质量，缩短设计周期，降低产品造价的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。
1.3.优化设计的相关参数
1.3.1 设计变量的选择
1. 设计变量是能影响设计质量或结果的可变参数。但如果将所有能影响设计质量的参数都列为设计变量，将使问题复杂化，而且也没有必要。因此，应对影响设计指标的所有参数进行分析、比较，从中选择对设计质量确有显著影响且能直接控制的独立参数作为设计变量，其它参数则作为常量处理。在优化设计问题中，设计变量太多，将使问题变得复杂化；而设计量太少，则设计的自由度少，不能求得最优化的结果。因此，应根据具体问题综合考虑这两个方面，合理地选取设计变量。
2. 确定设计变量的原则
A.设计变量应是相互独立的
优化方法是在n维空间内进行的，要求设计变量是相互独立的。
B.对目标函数影响大的
设计变量应是对目标函数影响较大的那些变量，而且设计变量序列将使目标函数没有明显的极值存在。在满足设计要求下，应充分分析各变量的主次，减少变量的数目，以简化优化过程。
1.3.2目标函数的建立
1. 目标函数是以设计变量来表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式，通常，设计所要追求的性能指标较多，显然应以其中最重要的指标作为设计追求的目标，建立目标函数。例如：对于一般机械的设计，可以按质量或体积最小的要求建立目标函数，对于精密仪器则应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。对于滚动轴承优化设计的目标可以按最长接触疲劳寿命设计，最大静载荷能力设计，最小平均摩擦力矩设计，最佳润滑及最小振动噪声设计等等，一般是最长接触疲劳寿命设计也就是最大额定动载荷设计。
在优化设计中，可将所追求的设计目标用设计变量的函数形式表达出来，这一过程成为建立目标函数。即目标函数是设计中预期要达到的目标，表达为各设计变量的函数表达式：它代表设计的某项最重要的特征，例如上面所提到的质量，体积、精度以及疲劳寿命等。
目标函数是设计变量的函数，优化设计的过程就是优选设计变量使目标函数达到最优值，或找出目标函数的最小值（或最大值）的过程。
在优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数，当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的优化问题。在一般的机械优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。
对于多目标函数，可以将它们分别独立地列出来：

也可以把几个设计目标综合到一起，建立一个综合的目标函数表达式，即：
B.
q为设计所追求的目标数目。
2.选取目标函数的原则
A.所选的目标函数应能评价设计优劣的指标
B.目标函数必须与所选的设计变量有关，而且能够直接或间接地写成表达式；
C.目标函数可以是一个，也可以是多个，应根据设计问题的性质而定。
1.3.3关于约束条件的确定
如前所述，目标函数取决于设计变量，而在很多实际问题中设计变量的取值范围是有限制的或必须满足一定的条件。在优化设计中，这种设计变量取值时的限制条件，称为约束条件或设计约束，简称约束。约束形式，可能是对某个或某组设计变量的直接限制，这时称为显约束；也可能是对某个或某组设计变量的间接限制，这时称为隐约束。
约束条件可以用数学等式或不等式来表示。
等式约束对设计变量的约束，严格起着降低设计自由度的作用。等式约束可能是显约束，也可能是隐约束，其形式为：

在机械优化设计中不等式约束更为普遍，不等式约束形式为：
或
1.3.4优化方法的选择
通常在选择优化方法时，首先应明确数学模型的特点。例如问题的规模（即维数，目标函数及约束函数的数目），目标函数及约束函数性质（例如函数的非线性程度，连续性及计算时的复杂程度）以及计算精度等。这些特点是选择优化方法的主要依据。
选择优化方法时，必然要考虑它本身及其计算程序的特点，例如，该方法是否已有现成的程序可用，编制程序所花费的代价；程序的通用性或普遍性，即能否用它来解多种类型的问题，解题规模；使用该程序的简便性及计算机执行该程序需要花费的时间和费用；程序的机动性；该方法的收敛速度、计算精度、稳定性及可靠性。
二、 几种常用的优化方法
优化方法很多，不管是何种方法，其关键总可归纳为：
1. 将有约束目标函数优化变成无约束目标函数优化。
2. 寻找无约束目标函数最优点的方向。
3. 确定寻找无约束目标函数最优点的步长。
解决这三个问题所采用的方法不同便存在不同的优化方法。通常所采用的方法有：二次插值法、网格法、拉格朗日乘子法、惩罚函数法、共轭梯度法、函数双下降法等等。
2.1基本数学概念
2.1.1函数的梯度
函数在给定点的梯度量是一向量，它的大小就是函数在该点方向导数的最大值，它的方向垂直于函数过该点的等值面，且指向函数增大的方向。
一般的说，若研究对象是函数，则其梯度可表示为：

2.1.2极值问题的一般概念
A. 一元函数的极值问题
定义，设函数在区间（a，b)内有定义，是（a，b）内的一个点，如果存在着点的一个邻域，对于这邻域内的任何点x除了点外，均成立，就说是函数的一个极大值；如果存在着点的一个邻域，对于这邻域内的任何一点x，除了点外，均成立，就说的一个极小值。
函数的极大值和极小值概念是局部性的，一般是指在特定的某个邻域成立，而在整个定义域不一定是最大或最小值。

函数的极值点和极值可通过下面步骤进行计算：
1） 求出导数；
2） 求出的全部驻点（即求出方程=0在所讨论的区间内的全部实根）
3） 考虑的符号在每个驻点的左、右邻近的情形，以便确定该驻点是否是极值点，如果是极值点，可根据下面的方法判断其为极大还是极小，然后计算其值。
判断极大极小方法：
如果函数 在点的一个邻域内可导且=0：
a） 如果x取左侧邻近值时，恒为正；当x取右侧邻近值时，恒为负，那么函数在取得极大值。
b） 如果x取左侧邻近值时，恒为负；当x取右侧邻近值时，恒为正，那么函数在取得极小值。
B.共轭方向的基本概念
设A为一个阶对称矩阵，P、Q为两个n维向量，若，则称向量P和Q为A共轭。
C.设计空间及可行域
出n个设计变量可以组成一个n维的设计空间。其中满足所有约束条件的点称为可行设计点（简称可行点），实际上就是规范要求一个设计方案，所有可行点组成的区域称为可行域。
2.2常用的优化方法
2.2.1二次插值法
在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次多项式来逼近原目标函数，然后求出该多项式的极小点，并以此作为目标函数的近似极小点。
例如：设为函数的一个插值多项式，那么的极小值点必定是方程=0的根。只要求出这个方程的根，再加以判断，就可以得到函数极小值点的近似位置。

P(x)
F(x)
F(x)
0
X1 X X0 X min X2

考虑问题
若已经求出，并且满足，我们可以通过三点作一条二次抛物线来拟合函数，如上图。
即令：，则它应该满足条件：

对于二次函数而言，它为抛物线，其顶点的横坐标即为最优解。设为x，则它满足，所以。
式中的系数a1和a2可由上述方程组求出。求出后代入x式中，求x，若x与x0充分接近，即如果预先给定允许误差，而当时，我们就把x看成是在区间上的近似最优解；否则在与中间找出最大者，在注意保持值的“高—低—高”的前提下，缩短区间，构成新的三点，继续进行二次插值。
2.2.2网格法
网格法是一种解非线性规划的直接法，这种方法的特点是算法简单，直观性强，对函数无特殊要求，应用时不需繁琐的公式推导，计算量和计算时间随设计变量个数的增多而迅速增加，所以该方法适用于维数较低的问题。
网格法的基本思路是：首先估计设计变量的区域，在估计的区域范围内归分网格（各个设计变量估计区域内划分的网格数可以是相等的也可以是不相等的），形成网格点；然后求满足约束条件情况下网格点的目标函数值，并比较它们的大小，从中选择最优值；接着在目标函数最优点的附近加密网格，在求它们的目标函数值，比较优劣；直至网格点之间的间距小于设计精度为止，这时所得到的最小目标函数值的点，即为问题的最优解。
网格的具体做法是：
（1）估计设计变量的区域
设函数为，
满足约束 j=1,…m.
我们还假定变量的取值范围为已知：
i=1,…,n
（2） 划分网格点
首先将区间分成等分（i=1，…，n）。记
i=1，…，n
则网格点的始点为： i=1，…，n
中间点： t=1,2，…， i=1，…，n
终点： i=1，…，n
这样，整个设计区域内形成了R个网格点，而

（3） 加密网格
对R个网格点，逐个计算检查，看是否满足约束条件，对满足的点再比较，从中找出最小值对应的点，设为，如果对于事先给定的精度，不满足，我们再在附近取小区域，再进行分割。
设，则下一次考虑的区间为：
， i=1，…，n
在新的区域 i=1，…，n
重复前面进行检验约束和比较目标函数的值，直到为止。
2.2.3拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法对于等于约束条件下和不等式约束条件下多变量函数的寻优都可使用。
1. 等式约束条件下拉格朗日乘子法的计算方法
A. 等式约束时极值存在的必要条件
对于二元函数来说，设目标函数为，等式约束为：。在无约束条件时，极值点存在的必要条件为：
，即 （2—1）
当有等式约束时，除了以上的关系式仍成立外，还必须满足
（2—2）
这就是说，在等式约束条件下，使f为极小的dx1与dx2已不能任意选取，必须满足式（2—2）。由（2—1）及式（2—2）可得：
（2—3）
即 （2—4）
这就是在等式约束下使目标函数f为极小的必要条件。
B.拉格朗日乘子法的计算方法
式（2—4）可改写为： （2—5）
令此比值等于一个可正可负的常数：
（2—6）
则即称为拉格朗日待定乘数，或简称为拉格朗日乘子。于是由式（2—6），连同得：
（2—7）
解此联立方程式可得及即求出极值点。方程组（2—7）相当于求解一个无约束的函数：
(2—8）
的极值点。此函数极值点存在的必要条件为：
（2—9）
此式（2—7）的结果。这个新定义的函数L称为拉格朗日函数。
若将式（2—7）代入（2—1），得：
（2—10）
这表明：在极值点附近，为目标函数随约束条件g的微变化而变化的比率。综上所述，通过应用拉格朗日乘子，可使求等式约束条件下函数f 极小点，成为求拉格朗日函数L的驻点。这种引进待定乘子，将有等式约束的寻优问题转化为无约束的寻优问题的做法，称为拉格朗日乘子法。
例： （2—11）
（2—12）
解此联立方程组，得：
以上是用拉格朗日乘子法解忧等式约束的寻优问题。下面讲一下用拉格朗日乘子法解不等式约束的寻优问题。
2. 不等式约束条件下拉格朗日乘子法的计算方法
A. 拉格朗日乘子法的计算方法
拉格朗日乘子法不仅可以用于解具有等式约束的非线性规则问题，而且也可以用于解具有不等式约束的非线性规划问题。
对于不等式约束条件，可设法引入松弛变量，使不等式变为等式。然后按等式约束条件下拉格朗日乘子法的计算方法求解。
例如，若不等式约束为：
（2—13）
我们引入松弛变量。由于在非线性规划中，没有变量为非负的约束，即不要求，（其中i=1,…,n)。因此，为保证不等式成立，引入的松弛变量均用平方项，以保证该引入项为非负的。由此可得：
（2—14）
这样就可把不等式约束变换为等式约束。然后，再用拉格朗日乘子法求解。
例如，约束条件为：

求目标函数的最小值，即
（2—15）
第一步：加松弛变量，使不等式约束变换为等式约束：
（2—16）
（2—17）
第二步：引入拉格朗日函数

（2—18）
式（2—18）中，有6个未知变量，若用求导的办法求极值，可有6个偏导数方程式，然后求出这6个未知数。这样计算时比较冗繁的。
第三步：引入新函数Z

在计算时先给定一个初始点，然后用计算机迭代计算，可求出最优解为：

2.2.4 惩罚函数法
惩罚函数法是一种是用很广泛、很有效的间接解法。它的基本原理是将约束优化问题

中的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数——惩罚函数

求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。为此，按一定的法则改变加权因子和的值，构成一系列的无约束优化问题，求得一系列的无约束最优解，并不断地逼近原约束优化问题的最优解。因此惩罚函数法又称序列无约束极小化方法，常称SUMT法。
式中的称为加权转化项。根据它们在惩罚函数中的作用，又分别称为障碍项和惩罚项。障碍项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。
根据迭代过程是否在可行域内进行，惩罚函数法又可分为内点惩罚函数法，外点惩罚函数法和混合惩罚函数法三种。下面主要介绍内点惩罚函数法。
内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。
对于只具有不等式约束的优化问题

转化后的惩罚函数形式为

式中r——惩罚因子，它是由大到小且趋近于0的数列，即
由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代点靠近某一约束边界时，其值趋近于0。只有当惩罚因子，才能求得在约束边界上的最优解。
下面介绍内点法中初始点、惩罚因子的初值及其缩减系数c等重要参数的选取和收敛条件的确定等问题。
（1） 初始点的选取
使用内点法时，初始点应选择一个离约束边界较远的可行点。若太靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难。程序设计时，一般都考虑使程序具有人工输入和计算机自动生成可行初始点的两种功能，由使用者选用。计算机自动生成可行初始点的常用方法是利用随机数生成设计点。
（2） 惩罚因子初值的选取
在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为

式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性的作用，通常的取值范围在0.1∽0.7之间。
（4） 收敛条件
内点法的收敛条件为

前式说明相邻两次迭代的惩罚函数的值相对变化量充分小，后式说明相邻两次迭代的无约束极小点已充分接近。满足收敛条件的无约束极小点已逼近原问题的约束最优点，迭代终止。原约束问题的最优解为：

三、滚动轴承优化设计举例
3.1圆柱滚子轴承主参数的优化设计
3.1.1目标函数的建立
目标函数是用来评价设计优劣的数学关系式。对于一般通用圆柱滚子轴承设计取最大额定动载荷Cr为目标函数（即保证疲劳寿命最长）。

式中：有关的系数，按标准查找。
3.1.2主参数的选择
由于考虑到可分离型轴承的安装和互换性要求，将取成标准值。（与国际标准相一致）。
而
因此由上式可以看出目标函数只有三个自变量将此作为主参数 即：

3.1.3约束条件的确定
设计变量不可能任意取值，常受到一些限制。这就是所谓的约束，约束通常分为两类边界约束和性能约束。边界约束即设计变量的上、下线约束，性能约束即影响设计问题的物理、力学等性能规律的约束。根据圆柱滚子轴承的具体情况，约束均为不等约束。即确定其约束条件如下：
1. 滚子长度的约束条件
滚子长度L不应大于轴承宽度B，通常取一定的系数XSL<1乘以轴承宽度B作为约束条件。即

根据经验XSL取值如下：

标准规定滚子直径都不大于滚子长度即：

2. 滚子直径的约束条件
滚子直径的取值范围应当这样考虑：保证滚子中心圆直径不小于轴承的平均直径但又不小于轴承的平均值径，但又不至于太大，致使轴承外圈壁厚小于设定值。

BBK为滚子中心外移量。为滚子内复圆直径。为滚子外复原直径。
3. 滚子个数的约束条件
为使额定动载荷最大，滚子数目越多越好，但滚子太多会使保持架过梁宽度太窄，为了不出现这种情况必须有一定约束或限制，即

3.1.4设计问题的数学模型为

成立，并满足约束条件

3.1.5优化方法
根据目标函数的形式和约束条件，采用惩罚函数法将有约束极值问题转化为无约束极值问题。
1. 构造惩罚函数的形式如下

2. 惩罚因子R初值的确定
3. 求解方法
设计采用共轭方向法确定搜索方向，用一维搜索的二次插值法，求其最优点。
所谓共轭方向法，即在一个区域内，沿某一方向搜索求其最优点（整个优化的相对精度取为0.001），再从这一点沿其共轭方向求出局部最优点，如此重复即可求得整个区域的最优点。
优化设计程序框图如下：

开始

打印最终优化结果Dwe、Lwe、Z、Cr
用网格法对优化结果进行进一步圆整处理
输入数据Tye,d,D,Fw,BBK等
打印优化结果Dwe，Lwe，Z等
判断是否收敛，精度是否满足要求
优化设计
将目标函数及约束条件转换成罚函数形式

否

是

结束

3.2调心球轴承主参数优化设计
3.2.1数学模型的建立
1. 目标函数和设计变量
调心球轴承在正常的工况条件下，其失效形式是零件接触表面的疲劳剥落，因此可以把调心球轴承的疲劳寿命作为本次设计的首选技术指标。滚动轴承疲劳寿命计算公式为：

当使用条件一定时，越大，轴承疲劳寿命越长，因此把额定动载荷最大作为本次优化设计的目标函数。国家标准GB/T 6391-2003规定：

式中为材料系数，为钢球直径，Z1为单列钢球个数，i为钢球列数，调心球轴承为双列钢球取i=2，a为轴承接触角，，其中G为两列钢球中心的距离，he为外圈最小壁厚，D为轴承外径。
是与有关的系数，查表得到。
，
为轴承节圆直径。
从以上分析可以看出，轴承额定动载荷与下列独立参数有关：钢球，单列钢球个数Z，钢球列数i，外圈最小壁厚he及两列钢球中心间的距离G。因钢球列数i=2为常量，因此额定动载荷是的函数。为了使轴承获得最高的额定动载荷，最优的综合性能，就必须对这四个参数进行有机的选值组合，这就构成了一个多参数优化问题，而这些主参数，还要受到多种轴承约束条件的限制，给优化求解增加了难度。
综上所述，调心球轴承的主参数优化设计以归结为下列问题。
参数变量：
目标函数：时

2. 约束条件
根据调心球轴承设计的一般原则和传统做法，有关性能方面的约束均转换为几何尺寸的约束，考虑到优化方法的需要，所有约束条件均写成：的形式。
A. 球径的约束
的取值范围可表示为：

B.球数约束

C.外圈最小壁厚约束：
外圈最小壁厚不小于0.07(D-d)即：

D.中心径约束：

E.保持架最小梁宽的约束
对于塑料保持架调心球轴承，同一系列钢球之间的保持架最小梁宽和相邻两列钢球之间的保持架最小梁宽必须满足：
即：
3. 优化设计方法
对于多参数不等式的约束优化问题的求解方法，目前已有多种，如简单网格法、梯度法、变尺度法、线性逼近法、罚函数法等。这些方法各有优缺点。具体到调心球轴承优化问题，采用综合约束函数双下降法比较有校。此方法变为尺度法的一种。它首先将各种约束（等式与不等式）构造成一个综合约束函数。只要参数变量满足等式或不等式约束条件，综合约束函数就能达到最小值零。
采用综合约束函数双下降法，首先将目标函数化成形式，把求最大值问题变成最小值问题，即寻找一组最优解向量达到最小。用G表示目标函数f(X)的可行域，表示n维欧式空间，X表示n维欧式空间中的一点，则f(X）满足约束条件的解向量的集合可表示为：

构造一个综合约束函数S（X）

因为当时，这时可行域又可表示为：

可寻找最优解向量的过程如下：
首先确定初始点，如不在可行域内，则对综合约束数按负梯度方向以步长进行叠代，得到新点，如新点仍不在可行域内，继续对以负梯度方向进行叠代，直到新点落到可行域内。当向量落在可行域内后则对目标函数以负梯度方向进行叠代，寻找最优解，当综合约束函数且：
时收敛。
这时主参数便可确定。主参数确定之后要进行结构及结构参数的研究，全部参数都设计完之后，按照标准进行相关尺寸的标注。

四、通用技术规则
通用技术规则按照国际GB/T307.3-1996规定。在设计中经常用到的规则如下。
首先设计人员应力求使设计的轴承符合“体积小、重量轻、结构简单、使用方便、质量好、性能优”的原则。设计方法遵循下列规定：
4.1轴承代号应符合GB/T272及JB/T2974的标准规定。
4.2滚动轴承的基本尺寸应符合GB/T273.1、GB/T273.2、GB/T273.3的标准规定。
当用户选用标准规定之外的轴承时，生产单位可与用户协商，尽量选用标准轴承，若确需非标准轴承，生产单位可根据用户的要求进行设计。
4.3轴承具有最长的额定寿命
滚动轴承的额定寿命应符合GB/T 6391-2003的标准规定。
额定寿命基本计算公式为：

：滚动轴承额定寿命
C：滚动轴承基本额定动载荷
P：滚动轴承当量动载荷
式中：为寿命指数，对于球轴承=3，对于滚子轴承=10/3；疲劳寿命的基本公式表明：球和滚子轴承的额定寿命分别与轴承额定动载荷的3或10/3次方成正比。各类轴承额定动载荷计算公式如下：
（1） 向心球轴承（有装球缺口的轴承除外）：

（2） 向心滚子轴承

(3) 推力球轴承
①单列、单向或双向

②双列或多列推力球轴承：承受同一方向载荷时的轴向载荷。

球数为的各排的额定动载荷按相应的单列公式计算
（4） 推力滚子轴承
①单列

②双列或多列

滚子数为长度为各列的额定载荷按单列的公式计算。上述公式中的的值在GB/T 6391-2003标准上查找。
各类轴承的额定静载荷按GB/T 4662-2003的规定。
其计算方法如下：
（1） 向心球轴承

（2） 推力球轴承