十字交叉法解题原理.doc

第二讲 十字交叉法、归中原理
[知识方法解析]
凡能列出一个二元一次方程组来求解的命题，即二组分的平均值，均可用十字交叉法，此法把乘除运算转化为加减运算，给计算带来很大的方便。
十字交叉法的表达式推导如下：设A、B表示十字交叉的两个分量，表示两个分量合成的平均量，xA、xB分别表示A和B占平均量的百分数，且xA+xB=1，则有：
A·xA+B·xB=（xA+xB） 化简得：
若把放在十字交叉的中心，用A、B与其交叉相减，用二者差的绝对值相比即可得到上式。

十字交叉法应用非常广，但不是万能的，其适用范围如表：

含 化学
义 量
类型
A、B

xA、xB

1
溶液中溶质
质量分数
混合溶液中溶质质量质量分数
质量分数

2
物质中某元素
质量分数
混合物中某
元素质量分数
质量分数
3
同位素相对
原子质量
元素相对
原子质量
同位素原子
百分组成
4
某物质相对
分子质量
混合物平均相对分子质量
物质的量分数
或体积分数
5
某物质分子
组成
混合物的平均
分子组成
物质的量分数
6
用于某些综合计算：如十字交叉法确定某些盐的组成、有机物的组成等
十字交叉法常用于求算：混和气体平均分子量及组成、混和烃平均分子式及组成、同位素原子百分含量、溶液的配制、混和物的反应等。
正确使用十字交叉法解题的关键在于：（1）正确选择两个分量和平均量；（2）明确所得比为谁与谁之比；（3）两种物质以什么为单位在比。尤其要注意在知道质量平均值求体积或物质的量的比时，用此法并不简单。
典型例题解析
（一）混和气体计算中的十字交叉法
【例题1】在常温下，将1体积乙烯和一定量的某气态未知烃混和，测得混和气体对氢气的相对密度为12，求这种烃所占的体积。
【分析】根据相对密度计算可得混和气体的平均式量为24，乙烯的式量是28，那么未知烃的式量肯定小于24，式量小于24的烃只有甲烷，利用十字交叉法可求得甲烷是0.5体积
【课堂练习】在相同的条件下，将H2（密度为0.0899g/L）与CO2（密度为1.977g/L）以何体积比混合，才能使混合气体的密度为1.429g/L？
（二）同位素原子百分含量计算的十字叉法
【例题2 】溴有两种同位素，在自然界中这两种同位素大约各占一半，已知溴的原子序数是35，原子量是80，则溴的两种同位素的中子数分别等于。
（A）79 、81 （B）45 、46 （C）44 、45 （D）44 、46
【分析】两种同位素大约各占一半,根据十字交叉法可知,两种同位素原子量与溴原子量的差值相等,那么它们的中子数应相差2,所以答案为D
（三）溶液配制计算中的十字交叉法
【例题3】某同学欲配制40%的NaOH溶液100克，实验室中现有10%的NaOH溶液和NaOH固体，问此同学应各取上述物质多少克？
【分析】10%NaOH溶液溶质为10，NaOH固体溶质为100，40%NaOH溶液溶质为40，利用十字交叉法得：需10%NaOH溶液为
60/90 ×100=66.7克，需NaOH固体为30/90 ×100=33.3克
【练习】1.有Ag质量分数为15％的NaNO3溶液，若将其质量分数变为30％，可采取的方法的是（ ）
（A）蒸发掉溶剂的1/2 （B）蒸发掉A/2g溶剂
（C）加入3A/14g NaNO3 （D）加入3A/20g NaNO3
2.配制20％的硫酸溶液460g，需要98％的硫酸（密度为1.84g/mL）多少毫升？

（四）混和物反应计算中的十字交叉法
【例题4】现有100克碳酸锂和碳酸钡的混和物，它们和一定浓度的盐酸反应时所消耗盐酸跟100克碳酸钙和该浓度盐酸反应时消耗盐酸量相同。计算混和物中碳酸锂和碳酸钡的物质的量之比。
【分析】可将碳酸钙的式量理解为碳酸锂和碳酸钡的混和物的平均式量，利用十字交叉法计算可得碳酸锂和碳酸钡的物质的量之比97:26
Na2CO3 1.6
NaHCO3 0.8
0.6
0.2
1
【例题5】用1L1mol/L的NaOH溶液吸收0.8molCO2，求所得的溶液中CO23－和HCO3＝的物质的量之比为
【分析】依题意，反应产物为Na2CO3和NaHCO3的混合物，若只生成为Na2CO3，需NaOH 1.6mol，若只生成为NaHCO3，需NaOH 0.8mol。现共消耗NaOH 1mol，于是由十字交叉法得（右图）：
∴n（Na2CO3）：n（NaHCO3）＝1：3
【课堂练习】常温下，0.01mol/L的盐酸溶液与pH＝11的KOH溶液混合后，pH＝9，求混合前盐酸和KOH溶液的体积比
【例题6】 由锌、铁、铝、镁四种金属中的两种组成的混和物10克，与足量的盐酸反应产生的氢气在标准状况下为11．2升，则混和物中一定含有的金属是
A．锌 B．铁 C．铝 D．镁
【解析】 本题利用平均摩尔电子质量求解，据10克金属与足量的盐酸反应产生的氢气在标准状况下为11．2升可得金属平均摩尔电子质量为10g／mol。四种金属的摩尔电子质量分别为：Zn：32．5 g／mol、Fe：28 g／mol、Al：9g／mol、Mg：12g／mol，其中只有Al的摩尔电子质量小于10g／mol，故答案为C。
【例题7】 将1 molCO(g)和1 molH2O(g)充入某固定容积的反应器中，在一定条件下CO(g)+H2O(g)CO2(g)+H2(g)达到平衡时，有的CO转化为CO2。在条件相同时，若将1molCO和2molH2O(g)充入同一反应器中，当反应达到平衡后，混合气体中CO2的体积分数可能为
A．22．2％ B．28．2％ C．33．3％ D．37．8％
【解析】 对于后一气态反应来说，无论反应如何进行，物质的量总是3mol，生成的CO2最多不能达到1mol，最少不低于mol，故CO)的体积分数在33．3％与22．2％之间。选D。
【课堂小节】 十字交叉法是有关混合物的计算中一种常用的解题方法，它能将一元一次方程或二元一次方程组求解转化成简单的算术运算，如果你对十字交叉法没有把握，这时候完全可以列一个二元一次方程组来代替十字交又法，这样的把握性会比较大。十字交叉法只能作为一种计算的技巧，而不是一种化学方法。在例题7中，采用了"归中原理"判断法。"归中原理"基本思路有两条：其一，"取两端、选中间"，先将问题假设成极限状态进行分析，求出两端极值，据此确定可能的取值范围，凡确定范围的习题均可用此法；其二是"定中间，选两头"，如例题6，先确定平均值，再根据"有一大必有一小"的平均原理使问题轻易得解。所谓平均值法是一种将数学平均原理应用于化学计算的解题方法。它所依据的数学原理是：两个数M1和M2(M1>M2)的算术平均值M一定介于二者之间，即M1>M>M2。所以，只要求出平均值M，就可知道M1和M2的取值范围，结合题给条件即可迅速求出答案。
【课后巩固训练】
1、某乙烯和乙炔的混合气体完全燃烧时，所需O2的体积是原混合气体体积的2．7倍，则该混合气体若与足量H2完全加成，消耗H2的体积将是原混合气体体积的
A．1．2倍 B．1．4倍 C．1．6倍 D．1．8倍
2、已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的相对平均原子质量为192.22，这两种同位素的原子个数比应为　　　　　　　　　　　 [　　　 ]
A．39∶61　　　B．61∶39 C．1∶1　　　 D．39∶11
3、一定量的乙醇在氧气不足的情况下燃烧，得到CO、CO2和水的总质量为27.6g，若其中水的质量为10.8g，则CO的质量是　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]
A．1.4g　　　　B．2.2g C．4.4g　　　　D．在2.1g和4.4g之间
4、右图中横坐标表示完全燃烧时耗用可燃气体X（X=A、B、C）的物质的量n（X），纵坐标表示消耗O2的物质的量n（O2），A、B是两种可燃性气体，C是A和B图6-1的混合气体，则C中n（A）∶n（B）为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]
A．2∶1　　　　　　　　 B．1∶2
C．1∶1　　　　　　　　 D．任意比
5. 今有NH4NO3和CO(NH2)2混合化肥，现测得含氮质量分数为40%，则混合物中NH4NO3和CO(NH2)2的物质的量之比为（ ）
（A）4∶3 （B）1∶1 （C）3∶4 （D）2∶3
6. 现有50g 5%的CuSO4溶液，把其浓度增大一倍，可采用的方法有：（1）可将原溶液蒸发掉 g水；（2）可向原溶液中加入12.5% CuSO4溶液 g；（3）可向原溶液中加入胆矾 g；（4）可向原溶液中加入CuSO4白色粉末 g。
7. （1）已知溶质质量分数分别为19x%和x%的两硫酸溶液，若将它们等体积混和，则所得混和液的溶质质量分数与10x的大小关系如何？（2）已知溶质质量分数为a%的氨水物质的量浓度是b mol·L-1，则%的氨水物质的量浓度与 mol·L-1的大小关系如何？

8. 将金属钠在空气中燃烧，生成Na2O与Na2O2的混合物。取该燃烧产物7.48g溶于水制成1000mL溶液，取出10mL，用0.1 mol·L-1的盐酸中和，用去盐酸20mL，试求该产物中Na2O的物质的量分数。

9. 0.8 mol CO2通入1L 1mol·L-1NaOH溶液中，试求所得溶液中溶质的物质的量。
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