有关一次函数与反比例函数综合题.doc

有关一次函数和反比例函数综合题

一. 探求同一坐标系下的图象
例1.已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
分析：由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，所以；反比例函数在第二、四象限，所以。观察各选项知，应选B。
评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。

例2.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
图2
分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。
评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。
二. 探求函数解析式
例3.如图3，直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。

析解：因为双曲线过点A（1，2），
所以
得双曲线的解析式为。
因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。
所以B点的坐标为（2，0）。
因为过点A（1，2）和B（2，0），
所以
解得
所以直线的解析式为
评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。

三. 探求三角形面积
例4.如图4，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

析解：把代入，得

整理得
解得
把分别代入
，
得
所以点A的坐标为
点B的坐标为
由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（）。
因为，

所以的面积为

故应选A。
例5.如图5，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么的面积为（ ）

A. 2 B. C. D.

析解：把代入，得，
整理得，解得
得分别代入
得
又点A在第一象限内，所以点A的坐标为
在中
由勾股定理，得所以OB=2。
所以的面积为
，
故应选（C）
评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。

四. 探求点的坐标
例6.如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4。
（1）求点P的坐标；

析解：在中，令，则；令，则。
所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。
因为点P的直线上，
不妨设点P的坐标为
所以。
又因为
所以
整理得
即
解得
因为点P在第一象限，所以。
故点P的坐标为（2，2）。
评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。

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