八年级下册数学《四边形》正方形、梯形知识点整理.doc

  正方形、梯形
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一、本节学习指导
几何题，同学们在掌握了它们的性质过后多做练习吧，没什么诀窍！
二、知识要点

1、正方形

（1）、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
警示：⑴ 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；
⑵ 既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
⑶ 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。

（2）、正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
⑴ 边—— 四条边都相等，邻边垂直、对边平行；
⑵ 角—— 四个角都是直角；
⑶ 对角线—— 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
⑷ 对称性—— 是轴对称图形，有四条对称轴。
⑸ 特殊性质—— 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形

（3）、正方形的判定：
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
⑴ 先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
⑵ 先证它是菱形，再证它有一个角是直角。

2、梯形
（1）、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

（2）、梯形的分类：一般梯形， 直角梯形，等腰梯形
⑴ 直角梯形：有一个角是直角的梯形。
⑵ 等腰梯形：两腰相等的梯形。

（3）、等腰梯形的性质：
⑴ 等腰梯形两腰相等，两底平行；
⑵ 等腰梯形同一底边上的两个角相等；
⑶ 等腰梯形的两条对角线相等。
⑷ 等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴。

（4）、等腰梯形的判定：
⑴ 两腰相等的梯形是等腰梯形；
⑵ 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
⑶ 对角线相等的梯形是等腰梯形。

提示：等腰梯形的判定思路：先证四边形为梯形（即一组对边平行且不等或另一组对边不平行），再证两腰相等或同一底上的两个角相等。

梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．

分析：
过A，D作AM⊥BC，DN⊥BC分别交BC于M，N，因为AD∥BC，所以AM=DN，从而可利用HL判定△AMC≌△DNB，由全等三角形的性质可得BN=CM，从而再利用SAS可判定△ABM≌△DCN，即可得到AB=CD，即梯形ABCD是等腰梯形．

证明：过A，D作AM⊥BC，DN⊥BC分别交BC于M，N，
∵AD∥BC，
∴AM=DN，
∵AC=BD，
∴△AMC≌△DNB，
∴BN=CM，
∴BM=NC，
∵AM=DN，AM⊥BC，DN⊥BC，
∴∠AMB=∠DNC=90°，
∴RT△ABM≌RT△DCN，
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
例:

（5）、解决梯形问题常用辅助线的作法：
解决梯形问题常用辅助线的作法如下图：

① ② ③ ④ ⑤

①“平移腰”：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形；
②“作高”：使两腰在两个直角三角形中；
③“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中；
④“延长两腰” :构造具有公共角的两个三角形；
⑤“等积变形”:连接梯形一腰的端点和另一腰中点，并延长与底的延长线交于一点，构成三角形。

综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法：梯形问题“转换，拼接”为三角形或平行四边形问题，

这种思路常常通过平移或旋转来实现。

3、重心

（1）、重心的定义：平面图形中，几何图形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平衡状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，也叫做重心。

（2）、几种几何图形的重心：
⑴ 线段的重心就是线段的中点；
⑵ 平行四边形及特殊平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；
⑶ 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；
⑷ 任意多边形都有重心，以多边形的任意两个顶点作为悬挂点，把多边形悬挂时，过这两点铅垂线的交点就是这个多边形的重心。

提示：⑴ 无论几何图形的形状如何，重心都有且只有一个；
⑵ 从物理学角度看，几何图形在悬挂或支撑时，位于重心两边的力矩相同。

（3）、常见图形重心的性质：
⑴ 线段的重心把线段分为两等份；
⑵ 平行四边形的重心把对角线分为两等份；
⑶ 三角形的重心把中线分为1:2两部分（重心到顶点距离占2份，重心到对边中点距离占1份）。

三、经验之谈：
正方形和梯形都是特殊的平行四边形中的重点，希望同学们一定要记住它们的特点，特别是在考梯形的时候，变幻莫测。但是万变不离其中，只要牢牢的掌握的基础知识，其他都不是问题。

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