考点跟踪训练28圆的弧长和图形面积的计算.doc

考点跟踪训练28　圆的弧长和图形面积的计算
一、选择题
1．(2011·潜江)如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆⊙O，则的长等于(　　)

A.π B.π C.π D.π
答案　D
解析　如图，易知AC＝BC，AC⊥BC，所以AB是⊙O的直径，连OC，则∠AOC＝90°，A的长等于π×＝π .
2．(2010·丽水)小刚用一张半径为24 cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是(　　)

A．120π cm2 B．240π cm2
C．260π cm2 D．480π cm2
答案　B
解析　根据圆的周长公式，得圆的底面周长＝2π ×10＝20π ，即扇形的弧长是20π ，所以扇形的面积＝lr＝×20π ×24＝240π ，故选B.

3．(2011·广安)如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是(　　)

A．(4＋) cm B．5 cm
C．3 cm D．7 cm

答案　B
解析　如图，将圆柱的侧面展开，可求得AC＝×6＝3，PC＝BC＝×6＝4.
在Rt△PAC中，PA＝＝5，所以从A点到P点的最短距离是5.

4．(2011·常德)已知圆锥底面圆的半径为6 cm，高为8 cm，则圆锥的侧面积为(　　)cm2.
A．48 B．48π C．120π D．60π
答案　D
解析　∵r＝6，h＝8，又r2＋h2＝l2，∴l＝＝10，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×6×10＝60π.
5．(2011·泉州)如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是(　　)

A．3π B．6π C．5π D．4π
答案　B
解析　设AB′与半圆周交于C，半圆圆心为O，连接OC.

∵∠B′AB＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，S扇形ABB′＝π×62＝6π，∴S阴影＝S半圆AB′＋S扇形AB′B－S半圆AB＝S扇形AB′B＝6π.
二、填空题
6．(2011·德州)母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________．
答案　2π
解析　S圆锥侧＝π×1×2＝2π.
7．(2011·绍兴)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面半径为______．
答案　1
解析　圆锥展开图扇形面积为π×42，圆锥的侧面积为π×r×4，∴π×42＝π×r×4，r＝1.
8．(2011·重庆)在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于________．
答案　1
解析　据弧长公式，l＝＝＝1.

9．(2011·台州)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB＝20.分别以DM、CM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中所示的阴影部分面积为___________．(结果保留π)

答案　50π
解析　∵直径DC⊥AB，
∴AM＝BM＝×20＝10.
由相交弦定理，得CM·DM＝AM·BM＝10×10＝100，
∴S阴影＝π×2－π×2－π×2
＝π×(CD2－DM2－CM2)
＝π×[(CM＋DM)2－DM2－CM2]
＝π×(2CM×DM)
＝π×CM×DM＝π×100＝50π.

10．(2011·泉州)如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC.那么剪下的扇形ABC(阴影部分)的面积为______；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r＝______.

答案　2π；
解析　连接OA、OB，画OD⊥AC于D.

∵扇形ABC为最大圆心角为60°的扇形，
∴点B、O、D在同一条直线上，BD⊥AC.
∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO＝30°，∠OAD＝30°.
在Rt△OAD中，OA＝2，
∴OD＝1，AD＝，AC＝2AD＝2 .
∴S阴影＝π×(2 )2＝2π.
∵弧的长＝π×2 ，
∴2πr＝π×2 ，
∴r＝.
三、解答题
11．(2011·汕头)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－4,0)，⊙P的半径为2，将⊙P沿着x轴向右平移4个长度单位得⊙P1.
(1)画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；
(2)设⊙P1与x轴正半轴、y轴正半轴的交点为A、B，求劣弧与弦AB围成的图形的面积(结果保留π)．

解　(1)如图所示，两圆外切．

(2)劣弧的长度l＝＝π.
劣弧和弦围成的图形的面积为S＝π·4－×2×2＝π－2.
12．(2011·杭州)在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1.
(1)求证：∠A≠30°；
(2)将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
解　(1)证明：在△ABC中，∵AB2＝3，AC2＋BC2＝2＋1＝3，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin A＝＝≠，∴∠A≠30°.
(2)将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，由题意得r＝，l＝.
∴S圆锥侧＝π××＝π，S底＝π×()2＝2π.
∴S表面积＝π＋2π.

13．(2011·湖州)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2.

(1)求OE和CD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
解　(1)在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，
∴OE＝OC＝1，∴CE＝OC＝.
∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2 .
(2) ∵S△ABC＝AB·CE＝×4×＝2 ，
∴S阴影＝π×22－2 ＝2π－2 .

14．(2011·泉州)如图，在△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD.已知BD＝2，AD＝3.求：

(1)tan C；
(2)图中两部分阴影面积的和．

解　(1)如图，连接OE.

∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°.
又∵∠A＝90°，
∴四边形ADOE是矩形．
∵OD＝OE，
∴四边形ADOE是正方形．
∴OD∥AC，OD＝AD＝3.
∴∠BOD＝∠C.
在Rt△BOD中，tan∠BOD＝＝.
∴tan C＝.
(2)如图，设⊙O与BC交于M、N两点．
由(1)得，四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE＝90°.
∴∠COE＋∠BOD＝90°.
∵在Rt△EOC中，tan C＝，OE＝3，
∴EC＝.
∴S扇形DOM＋S扇形EON＝S扇形DOE＝S⊙O＝π×32＝π.
∴S阴影＝S△BOD＋S△COE－
＝×2×3＋×3×－π＝－π.
∴图中两部分阴影面积的和为－π.

15．(2011·怀化)如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF.

(1)求证：OF∥BC；
(2)求证：△AFO≌△CEB；
(3)若EB＝5 cm，CD＝10cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．
解　(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.

又∵OF⊥AC于F，∴∠AFO＝90°，
∴∠ACB＝∠AFO.
∴OF∥BC.
(2)由(1)知，∠CAB＋∠ABC＝90°.
∵AB⊥CD于E，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＋∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝∠CAB.
又∵∠AFO＝∠BEC，BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB.
(3)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴∠OEC＝90°，CE＝CD＝×10 ＝5 .
在Rt△OCE中，OE＝x，则OB＝5＋x＝OC，
由勾股定理得：OC2＝OE2＋EC2，
∴(5＋x)2＝2＋x2，解得x＝5.
在Rt△OCE中，
tan∠COE＝＝.
∵∠COE为锐角，
∴∠COE＝60°.
由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为：
S阴影＝2(S扇形OBC－SΔOEC)
＝2×(－×5 ×5)
＝－25 (cm2)．