湖北省新洲一中、红安一中、麻城一中2013年高三上学期期末联考理科数学试题.doc

新洲一中 红安一中 麻城一中2013年高三上学期期末联考
数 学 试 卷（理）
命题学校： 新洲一中 命题教师： 汪秋焱
考试时间：2013年1月21日 15:00—17:00 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的．
1、设集合，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则=
A、36 B、32 C、24 D、22
3、将函数的图象向左平移后得到函数，则具有性质（ ）
A、最大值为，图象关于直线对称 B、周期为，图象关于对称
C、在上单调递增，为偶函数 D、在上单调递增，为奇函数
4、在中，，，，且的面积为，则等于（ ）
A、或 B、 C、 D、或
5、若一个正三棱柱的底面边长为2，高为2，其顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且满足，则不等式的解集是（ ）
A、 B、
C、 D、
7．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为l，弦AP的长度为d，则函数的图象大致是（ ）

8、已知函数的零点，且，，则
A、5 B、4 C、3 D、2
9、椭圆上有两个动点、，，，则的最小值为（ ）
A、6 B、 C、9 D、
10、定义在上的可导函数满足，，且当时，，则与的大小关系是（ ）
A、 B、 C、 D、不确定
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。
11．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角

主视图
俯视图
左视图
边长为1，那么这个几何体的体积为_________.

12、设的内角的、、对边分别为，且满足，则

13、已知、满足不等式组，若为坐标原点，，，则·的最小值是
14、已知直线：和圆：，点在直线上，、为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为
15、下列命题：①；②命题“，”的否定是“，”；③已知，则“”是“”的充分不必要条件；④已知，，则在上的投影为；⑤已知函数的导函数的最大值为3，则函数的图像关于对称，其中正确的命题是 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本小题满分12分）已知命题p:方程在上有解；命题q:只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数的取值范围。

17、（本小题满分12分）已知函数，且。
（1）若对，都有，求的取值范围；
（2）若，且，使得，求的取值范围。

18．（本小题满分12分）在等差数列中，，前n项和Sn满足条件
（1）求数列的通项公式；
（2）记

19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面，,
P
A
B

C

D
.
(1)求证：面⊥面；
（2）求二面角的余弦值.

20、（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点的直线交椭圆于、两点。（1）求椭圆的方徎；（2）在轴上是否存在一点，使得·恒为常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由。

21．(本小题满分14分)已知函数
（1）当时，求的极值
（2）当时，求的单调区间
（3）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围。
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数学参考答案

1、C 2、A 3、D 4、B 5、C 6、D 7、C 8、A 9、A 10、C
11、 12、4 13、-4 14、 15、③
16、解：若命题真：由，得，
显然，或
，故或， --------5分
若命题真：则抛物线与轴只有一个交点，
，或 --------10分
命题“或”为假命题时， --------12分
17、解：（1）.
令，则 ---------2分
对任意恒成立的充要条件是
解得的取值范围为 ----------6分
（2）因为，所以.
所以 --------8分
因此.
于是，存在，使得的充要条件是解得
故的取值范围是 --------12分
……5分
……12分
18、（1）设等差数列的公差为，由得：，所以，即，所以
（2），得，所以…，
当时，；
当时，…，
…

即当时，；当时，
19、（1）证明：设PA=AB=BC=CD=a,连接AC，在RT△ABC中，AC=a,在直角梯形ABCD中易求得AD=a，所以在△DAC中有：AD2+AC2=CD2，∴AC⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD ∴PA⊥AC ∴AC⊥平面PAD
∵ACÌ平面PAC ∴面PAD⊥面PAC ……………6分
（2）以B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示坐标系，则：
A（a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),D(2a,a,0),P(a,0,a)
设平面PBC的法向量为=(x′,y′,z′),平面PBD的法向量为=(x,y,z), =(a,0,a), =(0,a,0),=(2a,a,0)
由⊥，⊥,⊥，⊥得：ax′+az′=0,y′=0,ax+az=0,2ax+ay=0
P
A
B
C
D
x
y
z
∴z′=-x′,y′=0,y=-2x,z=-x ∴=(1,0,-1),=(1,-2,-1)
∴cos<,>==
设二面角D-PB-C的平面角θ，由图形易知θ为锐角
∴cosθ=|cos<,>|=……………………………12分
(以B为原点，AD，AC所在直线为x轴y轴建立平面直角坐标系参照给分）
20、（1）设椭圆的方程为
由题意，得，解得，所以 ---------3分
所求的椭圆方程为 ---------4分
（2）由（1）知
假设在轴上存在一点，使得·恒为常数
①当直线与轴不垂直时，设其方程为，、
由得 -------6分
所以， -------7分
·

因为·是与无关的常数，从而有，即 --------10分
此时· ----------11分
②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为、，
当时，亦有· -------13分
21、 ……2分
↘ 极小值 ↗
……5分
……10分
14分