高三文科数学056.doc

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期数：0512 SXG3 056
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇四十一 高三文科数学总复习三十六
———抛物线

【高考命题趋势】
抛物线与椭圆及双曲线均为圆锥曲线的核心内容，是历届高考的热点内容，每届高考都各有一个小题考查其基础知识，如基本量p的计算或范围的确定或求抛物线方程等，且与椭圆及双曲线一起，通常一年以其中一种曲线为核心在知识网络的交汇点命制与相关知识（如函数、三角、不等式、平面几何等）联系的创新性综合性能力题，尤其是抛物线与二次函数的紧密结合，形成了一个重要且独特的知识块，以一个常考常新、易于命制各类难度且区分度又好的能力题为载体，在新一届高考中仍将受到重视.
【应用举例】
例1 已知抛物线的准线与x轴交于点M，过M点作直线与抛物线交于A、B两点，若AB垂直平分线与x轴交于.
（1）求的取值范围；
（2）△ABE能否为等边三角形？若能，求的值；若不能，请说明理由.
分析：设直线斜率k，则联立方程组后据△得不等关系，据垂直平分线得k与的关系求解.
解：（1），则准线为x=－1，∴M(－1,0)，设直线l斜率为k，则
代入，
得，
∴，
解得且，
设方程两根分别为两点的横坐标，则其中点坐标为，AB的垂直平分线方程为，令y=0，得.
（2）∵△ABE为正三角形，∴高，也即E点到直线AB的距离
，
又，得，
解得，此时，
故△ABE能为等边三角形.
【点拨解疑】
1．平面几何条件利用其性质解题，如等边三角形用边上的高为这边长的，很简单地就实现了等价转化，类似地等腰直角三角形也要注意其性质的充分使用.
2．弦长公式常用.
例2 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，求.
解法一：抛物线的焦点为，过焦点F的直线与联立消去y，得： ，
设，则
∴，

∴.
解法二：同解法一联立方程组，消去x得：
，
∴
由焦半径公式
解法三：设直线PQ的参数方程为，
代入，得，
设P，Q对应的参数为，不妨设，
则
∴，.
∴.
【点拨解疑】
解法一用两点间距离公式（特殊的用弦长公式），解法二用焦半径公式，解法三用直线参数方程中t,m的几何意义.
例3 设抛物线上有两个动点A、B（AB不垂直于x轴），F为焦点，且.
（1）求证线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0).
（2）求△QAB的面积的最大值.
解：（1）设，
∵，即，
∴，
∴AB中点，
又两式相减得
，
∴，
∴直线MQ方程为，
即，
所以直线恒过点Q(6,0).
（2）联立消去x整理得
，
由△＞0得，
∴，
∴，
点Q到AB的距离，
∴

当且仅当，即时，等式成立，
∴△AQB面积最大值为.
【点拨解疑】
圆锥曲线上两点的斜率常常设点的坐标代入曲线方程，然后作差，借助中点有关知识进行处理.
【强化训练】
一、选择题
1．动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离之差等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
2．已知抛物线上三点A、B、C，且A(－1,1)，AB⊥BC，当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．(－3,1)
C． D．
3．一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点（ ）
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0,－2)
4．若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线的焦点，在这条抛物线上移动时，使 取最小值的M的坐标为（ ）
A．(0,0) B．
C． D．(2,2)
二、填空题
5．若曲线与关于直线l对称，则直线l的方程为_________.
6．抛物线与圆有且仅有两个公共点，则a的取值范围是__________.
三、解答题
7．已知抛物线的焦点为F，准线l，是否存在双曲线l同时满足以下两个条件：（1）双曲线C的一个焦点为F，相应于F的准线为l;
（2）双曲线C截与直线x－y=0垂直的直线所得的线段AB的长为，并且线段AB的中点恰好在直线x－y=0上.若存在，求出双曲线C的方程，若不存在，说明理由.

参考答案
一、1．D 2．D 3．B 4．D
二、5． 6．
三、7．解：假设存在，设e为离心率，AB中点为，
又且，
∴
∴
由F(0,0)，为准线，
∴，
∴a=－1,e=2，
∴，
∴.